计算机是由数学和工程学领域的先驱在政治动荡和战争时期发明的，它不仅仅是电子机器那么简单。在不计其数的精密电路和软件的背后，闪耀着一种数学的纯粹，那本身便是简洁质朴的美。为计算机的诞生打下根基的数学理论反映了现实世界自身的本质。
如今，挑战不可能之事的科学家依然在竞相探索宇宙的极限。数学和技术领域的革命，是以数百万美元的投资风险换来的，但是谁又能责怪他们呢？
1926年，英国由于煤矿劳资纠纷问题而爆发总罢工（1），汽车和火车全线停运。当时正逢学校开学，14岁的艾伦·图灵要去的是一所精英寄宿学校：位于多塞特郡的谢伯恩男子中学。但是他住在南安普敦，离学校大概有60英里远（约合96.6公里）。很多学生这时候都会干脆在家休息，等着为期十天的罢工结束以后再去上学，这样就可以享受更长的假期了。但图灵不是这种人。他毅然骑上自行车，往学校奔去。他骑了整整两天的时间，中途只在一家小旅馆歇了歇脚。就这样，年轻的图灵准时赶到了新学校。
图灵之所以养成了独立的性格，或许是因为他和哥哥约翰并不在父母身边长大。图灵夫妇都住在印度，但他们认为，孩子应该在英国接受教育。于是，他们把孩子留在了英国，和朋友同住。直到1926年，小图灵的父亲才退休回到英国——他回来的时候，小图灵正骑着自行车风风火火地往学校赶。
这是一个令人惊叹的开端，但是艾伦·图灵在新学校的成绩并不太好——以前也从来没有好过。他的字迹潦草，英语写作奇差。英语老师给出了这样的评语：“我可以原谅他的写作，但我这辈子都没见过写作水平这么差的。他的作文一向用词不当、粗制滥造、字迹潦草，不管写多少篇都是这样，我已经尽了最大的努力容忍他的劣质作文了……”拉丁语老师的评价也没有好到哪里去：“他成绩落后，总是犯一些滑稽可笑的错误。”
之所以会出现这样的问题，原因是图灵并不在乎课内成绩，而是把时间都花在了自己感兴趣的学问上。他独自开展化学实验，每次遇到数学难题都自己想办法解决。凭借独创的解题方法，他几乎包揽了学校颁发的所有数学奖项。任课老师不知道的是，图灵甚至已经开始从祖父给他的书中学习爱因斯坦的相对论思想和量子力学的最新理论。然而，他的才能并没有得到校长的赏识，校长说：“图灵要是想继续留在公学（英国的私立精英学校），就得让自己变得富有教养。如果他只是想当一名科学专家，那么他在公学上学简直是浪费时间。”
从小时候开始，图灵一直将一头深色的短发梳成标志性的左偏分。他的声音并没有随着年龄的增长而低沉多少，口吃的毛病也总是让周围的人误以为他不庄重。据图灵的母亲回忆，他在学校里没什么朋友，看起来日子也过得并不快乐。有位同学曾经给他画了张素描，画中的图灵正出神地看着曲棍球场中央生长的一簇雏菊——当时球场上正在比赛。不过，图灵不仅是个梦想家，还是个运动健将。他经常练跑步，长大后还成了训练有素的马拉松运动员。有一次，他在宿舍的楼梯井里自制了一个傅科摆（2）的复制品，来显示地球的自传。这件事终于使他在学校受到了一些重视。
图灵升上男子寄宿学校的预科班后，遇到了人生中的第一个重要的朋友——克里斯托弗·莫科姆（Christopher Morcom）。莫科姆也是一名天资聪颖的学生。两人经常用化学和数学难题互相挑战。
在莫科姆的影响下，图灵申请了剑桥大学三一学院的奖学金。他们一起去面试，结果克里斯托弗顺利通过，而图灵不幸失败。没过多久，悲剧发生了。克里斯托弗患上了牛结核病——这种结核病，可以通过病牛未经巴氏消毒的牛奶传播给人。他没能战胜病魔，英年早逝。18岁的图灵受到了沉重的打击。痛失挚友的创伤使他开始深入思考生命与物理学的关系——他在余生的大部分时间里也在研究这些学科。为了纪念挚友，他下定决心继续努力，实现两人共同的志愿。因此，到了第二年，他又一次参加了考试，申请了剑桥大学国王学院（3）。这一次，他成功考取了自己理想的学校。
考上大学后，图灵突然发现自己来到了一个全新的世界。在剑桥，他可以自由探索自己的想法，充分施展打破常规的天性。他开始参与社交，练习划船，同时继续坚持长跑。在学术上，他继续深入钻研量子力学、数学和逻辑学。在道德科学俱乐部（Moral Science Club，剑桥的一个哲学讨论组），他读到了一篇关于数学和逻辑学的论文。同时期的俱乐部成员概括了图灵在这个问题上的观点：“他认为，不能只从逻辑的角度看数学；一个数学命题可以有多种解读方法，逻辑解读只是其中的一种。”换句话说，图灵认为，数学可能比逻辑学更加博大精深。
1934年，图灵以优异的成绩毕业，并继续在剑桥深造，学习数学基础的高级课程。他写了一篇奖学金论文，证明了统计学的中心极限定理（4）——后来发现这个定理在很多年前已经被证明过了。这种事情对于图灵来说已经是家常便饭，而且他这么做是有充分理由的。
很多年后，他的同事詹姆斯·威尔金森（5）（James Wilkinson）道破了其中的缘由。“图灵有个强烈的嗜好，他喜欢从最基本的公理出发来推导结论，他通常只审一遍题，就开始自己想办法解决，完全不参考前人的解法。显然，正是因为养成了这样的习惯，他的解法才那么具有独创性，可以说是自成风格。这让我想起了贝多芬说过的一句名言。当时有人问贝多芬听没听过莫扎特的曲子，毕竟莫扎特正备受关注。贝多芬说，‘没有，我也不应该去听，以免受到影响，扼杀自己的创造力。’”
“图灵把这个信条贯彻到了极致。老实说，我一开始对他的做法还挺恼火的。每次他给我布置一个任务，我完成以后，他都不肯赏脸看一看我的解法，而是会自己先解一遍；只有自己先初步尝试一遍之后，才会看我的解法。我很快就看到了他这样做的好处。首先，他如果不亲自尝试，是不会轻易接受别人的想法的，不过更重要的是，他经常会想出一些具有独创性的方法。这些方法我可能想都没有想过，而且他要是一开始就看我的解法，也不一定想得出来。”
探索不可能解开的谜题
图灵在剑桥大学修读高级课程期间接触到了一个课题，以此为契机，他将向全世界展示自己的天才。这个课题非常适合图灵，因为它宏大而重要，直击数学的核心，而且尚未被人解决。
开课老师是剑桥大学的著名数学家马克斯·纽曼（Max Newman）（后来他也成了图灵的挚友和同事）。课程的重点在于探索数学的极限——是不是一切事物、以及任何事物在数学上都是可证明、乃至可计算的？这些令人费解的想法新颖独特，悬而未决，而且令人振奋。数学被认为是宇宙的形式语言（6）——我们通过这种方式描述万事万物，计算将来会发生的事情。如果没有数学，那么科学、工程学和经济学根本不可能存在。数学上的漏洞一旦被发现，将在很大程度上决定未来哪些事物可以计算、哪些不可以计算。这些想法很快就激发了图灵的想象。
关于数学漏洞的问题，我给大家举个例子。34年前，剑桥有位数学家——伯特兰·罗素（Bertrand Russell）发现了一个数学漏洞。此前罗素的工作已经取得了巨大的成功——他证明了所有数学问题都可以还原为逻辑问题，也就是说，所有数学发现都可以用逻辑表达式重新写出来。（很多年后，图灵在道德科学俱乐部也做了同样的事情。）这项工作是伟大的，因为它有助于我们了解数学赖以建立的所有基本真理。但是后来，罗素发现了一个问题。他发现了一个悖论——也就是看起来既正确又不正确的论断。数学家经常寻找悖论，因为你如果觉得某件事情既正确又不正确，那么你的想法肯定有漏洞。所以，通过这种方法可以将很多想法证伪。相比之下，罗素悖论的性质要严重许多，因为它似乎预示着，整个数学体系是有漏洞的。
罗素悖论与理发师悖论很相似。请大家设想一下：
有一位理发师，他只为不给自己刮脸的人刮脸。那么他给不给自己刮脸呢？
如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。唯一说得通的解释是，他既给自己刮脸，又不给自己刮脸——但这在逻辑上是不可能的。所以说这是一个悖论。
罗素悖论与之相似，只不过是关于集合的。集合是指具有某种特定性质的事物的总体。下面我给大家简单地分析一下罗素的思路：假设有两个集合，一个是由碗组成的集合，另一是由盘子组成的集合，两者加起来，可以组成一个由碗和盘子的集合组成的集合；如果在此基础上再累加一个由杯子组成的集合，那么就会形成一个由碗、盘子和杯子组成的集合（也就是餐具的集合）。也就是说，“集合”是个有用的数学概念，我们可以把一个集合包含在其他集合当中。很多基本算术运算法则（比如加法、减法）的证明都用到了数字集合的概念，所以说它们是整座数学大厦的基石。罗素认为，有些集合可以同时包含自身，比方说所有非空集合的集合。假设一个集合包含一切事物，那么任何事物都是该集合的元素。由于该集合内包含元素，其本身不是非空集合，因而肯定包含于非空集合的集合当中。由此可以推出，该集合包含自身，或者用集合论的术语来说，该集合是其自身的子集。
到目前为止，整个推导过程都没什么漏洞。没有出现悖论，只不过有些思想略显怪异。然而，罗素想到了一个非常特殊的集合，这个集合在数学上完全可以接受，但在逻辑上根本说不通。罗素悖论给我们出的难题是：
假设有一个集合A，它的所有子集都具有一个共同的性质P——它们不包含自身。问题是：集合A是否包含自身？
首先，若A包含自身，则A是A的子集，那么A具有性质P，由性质P知A不包含A；其次，若A不包含A，也就是说A具有性质P，而A是由所有具有性质P的集合组成的，所以A包含A。就像理发师悖论一样，唯一说得通的解法是，集合A既包含自身，又不包含自身。这在逻辑上是不可能的。
罗素悖论的提出之所以让数学家如临大敌，是因为它预示着数学的理论基础存在漏洞。几个世纪以来，数学思想和证明无不建立在一系列的基本真理之上。连加法和减法的运算法则都是运用集合和逻辑学加以证明的。但是罗素悖论表明，任何数学证明都不再可信。人们曾经认为，数学是唯一可能存在绝对真理的领域，就像笛卡尔所信奉的那样，但如今，这样的理念已不再成立。
罗素悖论还只是这一切的开端。1931年，在图灵攻读高级课程的四年前，有位数学家一劳永逸地证明了数学体系必定是不完备的。他的名字叫库尔特·哥德尔（Kurt Godel）。
哥德尔最杰出的贡献在于提出了哥德尔不完备定理。其中第一条定理或许最为出名，它与一条悖论相似。这条悖论称为“说谎者悖论”。请大家思考一下，下面这句话是对的还是错的？这句话是错的。
如果这句话是对的，那么它所指的内容必定为真，因此这句话是错的。如果这句话是错的，那么它所指的内容必定为假，因此这句话是对的。哥德尔的第一条定理可以通过类似的方式表述出来：
G=“本命题不可以由理论T证明。”
如果命题G事实上可以由理论T证明，则理论T中存在一个自相矛盾的定理G，既然有自相矛盾的地方，那么理论T就是不完备的。也就是说，T要是完备的理论，就不可以证明G，但是这样一来，T就有证明不了的命题，也称不上是完备的理论了。于是，G所指的内容就是真的：G既无法得到证明，但又是真命题。由此可见，有些事物不管能否得到证明，都可以为真。
这个脑筋急转弯游戏产生了巨大的影响。人们发现，任何事情都无法通过数学加以证明。有些真理则根本无法证实。
这样的结果是毁灭性的。要知道，千百年来，一代又一代数学家孜孜不倦地投身研究工作，就为了建立一个全面而完备的数学体系，在这个体系中，从最基础的公理到最高级、最复杂的证明都可以确凿无误地加以证实。但是如今，哥德尔不完备定理表明，数学家的努力永远没有成功的希望，一个全面而完备的数学体系永远也无法创立。无论数学的理论基础有多么牢固，总会有一些真理永远无法证实。