14.概率化的蒙特卡罗方法
蒙特卡罗方法，或称计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法。这一方法源于美国在第二次世界大战时研制原子弹的“曼哈顿计划”。该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城——摩纳哥的蒙特卡罗——来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。
蒙特卡罗方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。早在17世纪，人们就知道用事件发生的“频率”来决定事件的“概率”。19世纪人们用投针试验的方法来决定圆周率仃。20世纪40年代电子计算机的出现，特别是近年来高速电子计算机的出现，使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能。
考虑平面上的一个边长为l的正方形及其内部的一个形状不规则的“图形”，如何求出这个“图形”的面积呢？蒙特卡罗方法是这样一种“随机化”的方法：向该正方形“随机地”投掷N个点，假设有M个点落于“图形”内，则该“图形”的面积近似为M／N。
科技计算中的问题比这要复杂得多。比如金融衍生产品（期权、期货、掉期等）的定价及交易风险估算，问题的维数（即交量的个数）可能高达数百甚至数千。对这类问题，难度随维数的增加呈指数增长，这就是所谓的“维数的灾难”，传统的数值方法难以对付（即使使用速度最快的计算机）。蒙特卡罗方法能很好地用来对付维数的灾难，因为该方法的计算复杂性不再依赖于维数。以前那些本来是无法计算的问题现在也能够计算了。蒙特卡罗方法由于其简单性、灵活性和普遍性而获得广泛应用。该方法的缺点是：若想增加一位精度，需要增加100倍的计算量。为提高方法的效率，科学家们提出了许多所谓的“方差缩减”技巧。
另一类形式与蒙特卡罗方法相似，但理论基础不同的方法——“拟蒙特卡罗方法”——近年来也获得迅速发展。这种方法的基本思想是：用确定性的超均匀分布序列代替蒙特卡罗方法中的随机数序列。对某些问题该方法的实际速度一般可比蒙特卡罗方法提高数百倍，并可大大提高计算精确度。
15.诱人的四色问题
在图论中，一个最著名的问题就是四色问题。作为四色问题的一个特例，即为地图着色问题：在一个平面或球面上的任何地图都能够只用四种颜色来着色，使得没有两个相邻的国家或地区有相同的颜色。这里要求每个国家或地区必须由一个单连通域构成，而两个国家或地区相邻是指它们有一段公共的边界线。每一个这样的地图可以导出一个图，其中国家或地区都是点，当相应的两个国家或地区相邻时，这两个点用一条线来联结。由一个地图导出的图显然可以画在平面上而且没有相交的线，这在图论中称为可平面图。这样四色问题就可以叙述为：任何一个可平面图的点用四种或更少的颜色来着色，都可以使相邻的点有不同的颜色。
四色问题是在1852年Francis Guthrie提出的，但直到1878年，由于cayly在英国皇家学会上重提，才使它变得著名。几乎在同时，即1879年Kempe给出了这个问题的许多错误“证明”中的第一个“证明”，1890年，Headwood发现了Kempe“证明”中的一个错误，在修改这个证明后，他得到了五色定理（任何一个可平面图的点用五种颜色来着色，都可以使相邻的点有不同的颜色）。从那时起，很多著名的数学家和一大批数学爱好者从未终止过对这个问题的研究。但遗憾的是，在经历了一个多世纪的风雨后，这个问题仍没有实质性的突破，直到1976年，美国数学家K.Appel和W.Haken依靠电子计算机的帮助，用1200个小时证明了这个问题的正确性。但是，他们的证明显然是不理想的，数学家们仍希望不借助于电子计算机而给出严谨的证明。所以，在一段时问内，四色问题还将作为一个最简单的、最诱人的、没有彻底解决的数学问题而存在。
16.开辟新时代的数学与计算机结合
电子计算机与数学的结合，极大地提高了人们的计算能力，引起了数学研究的深刻变革。
（1）运用计算机解决了一些困难的问题。例如，四色问题（一幅地图着色要四种颜色）自1852年提出后一百多年没有解决，1976年美国依利诺大学的两位数学家利用电子计算机花费1200个小时终于解决了该问题。这项工作最重要的意义不仅在于证明了四色定理，而在于运用电子计算机完成了这种前人没完成的事情，它提供了用计算机研究数学的范例。
（2）在数学研究中，通过计算机可帮助猜测、发现新的事实和定理。近几年来应用数学上一项重要突破——非线性微分方程孤立子解，就是首先在电子计算机的荧光屏上发现的。计算机可以把繁琐的数学命题做机器证明，现代机器证明的研究已取得令人鼓舞的进展，我国吴文俊教授在机器证明研究中取得很大成果。
（3）计算机还引起数学中离散化倾向的增长，推动了研究离散结构的数理逻辑、图论、组合理论、代数系统以及进行离散数值处理的数值分析等学科的发展，极大地扩展了数学应用的范围。
（4）新型计算机的设计、制造及其使用也向数学本身提出各种崭新的课题，促进了许多数学分支的发展。
科学家们普遍感到计算机将引起数学和整个科学技术的革命，正在开辟一个数学研究的新时代。
17.快速扩展的核心数学
从20世纪到21世纪，数学科学的巨大特征之一是，数学结构等抽象研究的兴起和对数学基础的深入考察，将数学科学的核心部分引向高度抽象化的道路，带来核心数学的大扩展。其表现是，抽象代数、代数拓扑学、泛函分析、测度与积分理论、数理逻辑等新领域的开拓，经典数学如数论、代数几何、群论、复分析、调和分析等分支的深化发展。核心数学所创造的许多高度抽象的语言、结构及理论，既成为数学内部各分支相互联系和统一的纽带，又是其他科学技术领域中普遍适用的工具。
核心数学正向高维、多变量和非线性发展。
就对象而言，现代数学不仅研究现实世界的数量关系与空间形式，而且更多地是研究各种广义的“量”的关系和各种抽象的“空间形式”，正在向高维、多变量和非线性发展。
高维空间就是高于三维的空间，高维空间比起我们日常生活的三维空间来性质更复杂，20世纪的几何学大量研究高维空间，如现代微分几何、微分拓扑等主要研究n维微分流形。
现代数学由单变量向多变量发展，高维空间的复杂结构，必然带来多变量问题。例如研究多个复变量函数的多复变函数论，已成为当代数学中精深的前沿学科之一。
当前数学更多关注非线性问题。我们称一次代数方程为线性方程，称高次方程为非线性方程，因为前者的几何图象是一条直线，而后者一般是曲线。非线性微分方程、非线性泛函分析、非线性规划、非线性控制理论……构成了非线性数学的热门课题。
从研究方法来看，公理化与结构化观点的流行，是当代纯粹数学高度抽象化趋势的又一突出表现。公理化方法是由德国数学家希尔伯特倡导的，它将数学理论看成是一种公理系统，由一组不证自明的公理出发来演绎推导全部结论。如抽象代数、拓扑学、泛函分析等都采用公理方法为理论基础；法国的布尔巴基学派提出“结构”概念，认为数学中存在着代数结构、序结构与拓扑结构三种基本结构，由这三种基本结构可以派生出不同“子结构”，构成不同数学分支的研究对象。
18.开启高科技大门的现代数学
现代高能物理应用了s矩阵理论、场论和群论这三个数学理论。s矩阵理论主要应用复变函数的标准理论，目标是应用其他的实验结果来计算或预见一个实验结果；场论选择的是希尔伯特空间中运算子的代数；群论是相当高深的理论，主要应用两个概念，一是“群”的对称性，另一是“表示”。现代物理学用计算机发现了许多现象，1963年发现奇异吸引子，1964年发现守恒系统的混沌现象，1978年发现分岔现象和湍流模型的普适性。
在核技术研究中，通过核反应过程的数学模型——一组非定常的非线性偏微分方程，在计算机上进行数值计算，可以给出核爆炸过程中各个细节的图像、定量的数据以及各种因素与机制的相互作用，从中可以了解核反应的规律。对于核技术产品的设计，每设计一个型号，从摸清规律、调整各种参数到方案的优选等等，需要计算成百上千个模型，而在电子计算机上选择一套参数计算一个模型，就相当于进行一次核试验。所以，通过在电子计算机上花费几百万元进行计算来减少核试验次数，可以节约数以亿计的核试验经费。
1984年美国数学专门委员会提出了进一步繁荣美国数学的报告，指出高科技的出现已经把社会推进到数学工程技术的新时代。数学专门委员会主席、应用数学家E.David指出，高技术本质上是一种数学技术。的确，高技术与现代数学有密切联系，高技术研究离不开电子计算机与数学实验，也离不开现代数学，现代数学是打开高科技大门的钥匙。
19.造福社会的现代数学
现代的公共福利与服务事业中也广泛地应用了数学，数学对人类的日常生活起着潜移默化的影响。
排队论解决了最优服务问题。1909年丹麦工程师爱尔朗创建的排队论，是根据顾客到达和服务时间的概率规律，制订出来的既能满足顾客需求又能最大限度地发挥服务机构经济效益的策略。它是具有特殊实用价值的现代应用数学分支。1940年后，排队论已经广泛应用于军事、运输、维修、生产、服务、库存、医疗卫生、教育等排队系统问题。20世纪60年代后计算机和系统科学的发展，又给排队论的应用开拓了新的生命力，计算机手段使过去的排队难题迎刃而解。
系统科学发展涉及各子系统的时间等待问题、要求服务问题、忙闲问题，从而构成有输入过程、服务机构、排队纪律等基本特征的排队问题，这就要借助排队论来解决。
数学还用来解决城市交通问题。现代城市交通计划、运输动力学、道路形式选择等，普遍应用线性规划、组合图论等数学方法和计算机。运输问题的数学模型，是一类特殊的线性规划模型，可用单纯形法来求解。但是，一个简单的运输问题，如在五个产地、六个销地的情况下，变量竟达30个，因此，用单纯形法求解运输问题是不合算的，这就要根据运输模型约束方程式中所有变量系统均为1的特点，采用“表上作业法”的计算方法求解。
数学也用于保险业。现在开展的保险业，有海上、空中、产品、养老、人身等方面，保险制度是要减少因风险而造成的损失，采取共同承担风险的作法，使投保人、保险公司都能得到好处。保险费多少是主要的计算课题，保险费受事故的概率、保险者期望利率、承力保险的费用这三方面的因素影响。在不同情况下，应用不同公式来计算。20世纪后，对风险理论的研究有了进展，瑞典统计学家克拉姆等奠定了集体风险论的基础，研究风险数学中的某些问题，把风险同随机过程理论联系起来得到有用的结果，把保险数学推进到一个新阶段。
20.与数学有关的边缘学科
随着数学本身的发展，数学与科学技术相结合，产生了许多边缘学科。
（1）生物数学
人们在研究复杂的生命现象时，也需要进行大量运算，电子计算机出现后，许多生物数学问题的求解成为可能，因而产生了生物数学。现在，生物数学发展得很快，出现了许多分支，例如，用统计学方法研究生物界的随机现象，为生物学提供分析处理观察资料的方法的生物统计学；用概率论的方法研究各种不同情况下生物群体内基因型变化的群体遗传学；用数学方法研究自然界中的生态系统，建立生态模型，进行生态分析与生态模拟等，建立了数学生态学。
（2）数学地质学
20世纪60年代以来，随着地质学的发展和电子计算机的应用，逐渐出现了用数学理论和方法研究各种地质现象的数量关系和空间形式的数学地质学，它用数学模型模拟地质现象，运用电子计算机进行复杂运算，来研究各种复杂的地质过程。数学地质学已广泛地应用于沉积学、地层学、构造地质学、矿床学、水文地质学、工程地质学等方面。数学地质学的发展使地质学从定性向定量变革。
（3）数理逻辑
数学与逻辑学相互渗透，产生了数理逻辑这一新学科。它是以数学理论的形式结构、数学计算、数学推理为对象，研究它们的方法和规律，并用数学方法研究思维过程中所遵循的逻辑规律，系统地研究数学中的逻辑方法。
数理逻辑采用数学方法，系统地使用符号、公式来陈述处理问题，对理论中的概念作出严格的定义，对定理作出严格的证明等。用数理逻辑研究某些数学理论中的命题并给予证明，为数学提供了新的研究方法，对数学发展有很大影响。
（4）计算数学
围绕电子计算机的发展与应用，又产生了计算数学。计算数学是运用现代化计算技术解决具体问题的数学方法。计算数学的内容包括：①数值计算方法。这是把具体问题数学化，建立一个反映问题本质的数学模型，列出方程和列出解题的步骤，制定数值计算方法，让计算机自动解题。②程序设计和程序自动化。拟定解题的计算方法，并把它编成计算机工作步骤的程序单，计算机按规定的程序来解题，这就是软件。为了提高解题准备的工作效率，主要采用程序标准化和程序自动化。