回到家里，哈密顿把自己关进书房，一连几天不肯出来，甚至连饭都得让人送进去。最后，他终于从数百页演算纸里，抄清出了一篇极有价值的论文。
1843年11月，哈密顿在爱尔兰科学院宣布发现“四元数”，从而轰动了当时的数学界。四元数的发现，有力地推动了向量代数的发展。过去，复数理论只可用于平面向量，而空间向量问题则要用四元数向量部分来解决。哈密顿还把四元数引入微积分，定义了描述函数的数量或方向两个方面的变化的一系列概念。例如“梯度”、“旋量”等，成为研究物理学、工程学的重要计算工具。
10年之后，哈密顿写成了《四元数讲义》，并于1857年发表。当时着名的物理学家麦克斯韦正在研究电和磁，他苦于无法描述电磁运动及其变化规律。电和磁都是带有方向性的量。要弄清电磁运动的规律，必须首先从数学方法上找到解决的途径。麦克斯韦曾长期用复数向量处理，却一直得不到正确结果。当哈密顿四元数问世后，终于使麦克斯韦走出困境，使他的电磁研究获得了成功，并得出了“麦克斯韦方程组”，预言了电磁波的存在。
哈密顿深知四元数在科学上的重大意义。于是，在他生命的最后20多年中，一直倾注全力进行研究。他预感到，四元数的应用将在物理界引起巨大的变革。可惜的是，在这种变革没有到来之际的1865年9月2日，他因为慢性酒精中毒而离开了人间，终年60岁。
“假结婚”的女数学家
1850年，莫斯科一位数学教师家里诞生了一位女婴，她就是俄国伟大的女数学家苏菲·柯瓦列夫斯卡娅。
幸运的是，苏菲从一降生，就生活在数学的天地里。原来，她住的房子，墙壁上四处裱糊着她父亲的数学讲义。苏菲从小就看着，读着这些半懂不懂的讲义长大。那些奇奇怪怪的数学符号给她留下了深刻的印象。伴随年龄的增长，在家庭女教师的解答下，她渐渐弄懂了这些符号和数学公式。
14岁的时候，苏菲不经别人帮助，就能看懂父亲的朋友带给她的数学教科书中三角公式的意义，15岁时，父亲同意她利用冬季居住彼得堡期间，学习高等数学。
长成大姑娘的苏菲十分想往完全的高等教育，可是当时俄国的大学对女子是紧闭大门的。当时，只有西欧一些大学肯收女学生，苏菲于是立志要到外国去。可是，专横的父亲不同意，他不希望女儿从自己的身边飞走。
当时，一些俄国姑娘为了离开专制的家庭，常常采用与外国人“假结婚”的办法出国，苏菲也如法炮制，与莫斯科大学一位外国学生协商，帮她实行“假结婚计划”。1868年，苏菲不顾父母的反对“结婚”了，第二年春天，她冲出国门，为了她喜爱的数学，来到了德国的海德堡。
又几经周折，苏菲进了德国最古老、最有名望的海德堡大学。三年期间，她修完了数学、物理、化学和生理学等大学课程。在大学里，她最喜欢的课程是“椭圆积分论”。当她得知这一理论是着名数学家魏尔斯特拉斯建立的，就热切地想去柏林向这位着名的教授学习。
1870年，苏菲来到柏林，尽管她带来了海德堡大学教授的推荐信，但柏林大学仍拒收她，唯一的理由就是“柏林大学不收女学生”。无奈，苏菲只好直接去找年已55岁，声名显赫的魏尔斯特拉斯教授。这位数学大师与苏菲一谈，深被她的求知欲所感动，便亲自与学校当局疏通，但学校当局及同事们都认为，数学不是女人的事，拒绝了他的极力推荐。
善良的魏尔斯特拉斯为了不让苏菲失望，决定自己教她，但他要先试试苏菲的水平，刚好他手里有一些准备给高年级学生演算的试题，他就叫苏菲做一做。令他吃惊的是，苏菲不仅演算迅速、答案清晰，而且很有独创性。从此，苏菲便在这位名师的指导下从事数学学习和研究。
1874年，德国的数学中心哥廷根大学，根据魏尔斯特拉斯教授的推荐和苏菲三篇高水平论文，未经口试，便授予苏菲博士学位。她成为哥廷根大学第二个女博士。之后，魏尔斯特拉斯教授极力推荐她去大学教书，但顽固的守旧势力始终不肯接纳她，苏菲只好回俄国去了。
在俄国，经科学院院士切比雪夫极力举荐苏菲去大学教书，但仍没有成功。后来，还是在魏尔斯特拉斯的瑞典学生帮助下，才使她有幸在斯德哥尔摩一所大学当数学讲师。
1888年，法国巴黎科学院悬赏解题——“刚体绕固点旋转的问题”，这是数学大师欧拉和拉格朗日长期感到棘手的问题。学术委员会采用密封评选的办法，在应征的15篇论文中，选出了一篇最出色的予以奖励，奖金5000法朗。
打开选中的试卷一看，获奖者竟是俄国女性苏菲。
苏菲获此奖励在法国学术界轰动一时，她成为第一个跨进法国科学院大门的奇女子。她在偏微分方程方面很有建树。在此期间，她完成了法国大数学家柯西的一项研究，偏微分方程理论的一个重要基本定理“柯西——柯瓦列夫斯卡娅定理”，就是以柯西和苏菲二人的名字命名的。
苏菲获奖的第二年，斯德哥尔摩学院授予她一笔高额奖金，又正式任命她为大学教授。可是，守旧势力是顽固的。
瑞典的着名作家特林倍格就此撰文说：“女人担任数学教授是奇怪的、有害的、难堪的现象。”但苏菲却以她出色的教学成绩，赢得了学生们的爱戴和尊敬。仅用一年时间，她就能用流畅的瑞典语讲课了。最终，瑞典人信服了她。
1891年，历经坎坷的苏菲在瑞典逝世，年仅41岁，人们把她安葬在斯德哥尔摩，表示对她永久景仰。
苏菲死后，她的大脑按北欧人的特殊习惯，进行了解剖研究，据说4年后，医生把她的大脑与德国大物理学家赫尔霍兹的脑量比较，发现她的大脑在比例上大于一般男人。
第一个算出地球周长的人
2000多年前，有人用简单的测量工具计算出地球的周长。这个人就是古希腊的埃拉托色尼(约公元前275-前194年)。
埃拉托色尼博学多才，他不仅通晓天文，而且熟知地理；又是诗人、历史学家、语言学家、哲学家，曾担任过亚历山大博物馆的馆长。
细心的埃拉托色尼发现：离亚历山大城约800公里的塞恩城(今埃及阿斯旺附近)，夏日正午的阳光可以一直照到井底，因为这时候所有地面上的直立物都应该没有影子。但是，亚历山大城地面上的直立物却有一段很短的影子。他认为：直立物的影子是由亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角所造成。从地球是圆球和阳光直线传播这两个前提出发，从假想的地心向塞恩城和亚历山大城引两条直线，其中的夹角应等于亚历山大城的阳光与直立和形成的夹角。按照相似三角形的比例关系，已知两地之间的距离，便能测出地球的圆周长。埃拉托色尼测出夹角约为7度，地球的周长大约为4万公里，这是实际地球周长(360度)的五十分之一，由此推算地球的周长大约为4万公里，这与实际地球周长(40076公里)相差无几。还计算出太阳与地球间的距离为147亿公里，和实际距离149亿公里也惊人地相近。这充分反映了埃拉托色尼的尝试说和智慧。埃拉托色尼是首先使用“地理学”名称的人，从此代替传统的“地方志”，写成了三卷专着。书中描述了地球的形状、大小和海陆分布。埃拉托色尼还用经纬网绘制地图，最早把物理学的原理与数学方法相结合，创立了数理地理学。
业余数学家之王——费马
17世纪的一位法国数学家，提出了一个数学难题，使得后来的数学家一筹莫展，这个人就是费马(1601-1665年)。
这道题是这样的：当n＞2时，xn+yz=zn没有正整数解。在数学上这称为“费马大定理”。为了获得它的一个肯定的或者否定的证明，历史上几次悬赏征求答案，一代又一代最优秀的数学家都曾研究过，但是300多年过去了，至今既未获得最终证明，也未被推翻。即使用现代的电子计算机也只能证明：当n4100万时，费马大定理是正确的。由于当时费马声称他已解决了这个问题，但是没有公布结果，于是留下了数学难题中少有的千古之谜。
费马生于法国南部，在大学里学的是法律，以后以律师为职业，并被推举为议员。费马的业余时间全用来读书，哲学、文学、历史、法律样样都读。30岁时迷恋上数学，直到他64岁病逝，一生中有许多伟大的发现。不过，他极少公开发表论文、着作，主题通过与友人通信透露他的思想。在他死后，由儿子通过整理他的笔记和批注挖掘他的思想。好在费马有个“不动笔墨不读书”的习惯，凡是他读过的书，都有他的圈圈点点，勾勾画画，页边还有他的评论。他利用公务之余钻研数学，并且成果累累。后世数学家从他的诸多猜想和大胆创造中受益非浅，赞誉他为“业余数学家之王”。
费马对数学的贡献包括：与笛卡尔共同创立了解析几何；创造了作曲线切线的方法，被微积分发明人之一牛顿奉为微积分的思想先驱；通过提出有价值的猜想，指明了关于整数的理论——数论的发方向。他还研究了掷骰子赌博的输赢规律，从而成为古典概率论的奠基人之一。
康托尔的数学成就
伽利略曾作过这样的证明：DE是ABC的中位线，DE=12BC，通过A引任意一条直线，必然有DE上的P′和BC上P一一对应，因此，DE所包含的点与BC所含的点“一样多”，导致结论：DE=BC，1=2。这是一个数学悖论。
由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果(称为“悖论”)，许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度。1874-1876年期间，不到30岁的年轻德国数学家康托尔(1845-1918年)向神秘的无穷宣战。他靠着辛勤的汗水，成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的一点一一对应，也能和空间中的点一一对应。这样看起来，1厘米长的线段内的点与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多”！后来几年，康托尔对这类“无穷集合”问题发表了一系列文章，通过严格证明得出了许多惊人的结论。
康托尔的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突，遭到一些人的反对、攻击甚至谩骂。有人说，康托尔的集合论是一种“疾病”，康托尔的概念是“雾中之雾”，甚至说康托尔是“疯子”。来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托尔，使他心力交瘁，患了精神分裂症，被送进精神病医院。
真金不怕火炼，康托尔的思想终于大放光彩。1897年举行第一次国际数学家会议上，他的成就得到承认。伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托尔的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作”。可是这时康托尔仍然神志恍惚，不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦。1918年1月6日，康托尔在一家精神病院去世。
康托尔生于俄国彼得堡一个丹麦犹太血统的富商家庭，10岁随家迁居德国，自幼对数学有浓厚兴趣。23岁获博士学们，以后一直从事数学教学研究。他所创立的集合论已被公认为全部数学的基础。
全能数学家——彭加勒
一位数学史权威评价彭加勒(1854-1912年)时说，他是“对于数学和它的应用具有全面知识人的最后一个人。”20世纪以来，数学进入了多学科、高难度的现代阶段，要想达到每个领域的最高成就已经不可能，但彭加勒确实是他那个时代的数学全才。
一般把数学划分为算术、代数、几何和分析四个领域，彭加勒对各个领域的研究成果，都是第一流的。他成功地解决了像太阳、地球、月亮间相互运动这一类的三体问题；他是现代物理的两大支住——相对论和量子力学的思想先驱；他研究科学哲学提出的“约定论”着重分析了人类理性认识的基本法则，日益受到当代哲学家的重视。在他从事科学研究的34年里，发表论文500篇，着作30多部，获得过法国、英国、俄国、瑞典、匈牙利等国家的奖赏，被聘为30多个国家的科学院院士。
1912年6月26日，彭加勒病逝前20天作了最后一次讲演，他说：“人生就是持续斗争。”彭加勒的一生就是斗争的一生。他因为小时候得过病，语言不够流畅，写字画图都有困难；还留下了喉头麻痹身体虚弱的后遗症。不少人把他当作笨人。他成为数学家后，一位心理学家通过测验仍然认定他是“笨人”。彭加勒取得成就的关键是注意力高度集中。他一生最大的嗜好就是读书，读书速度快，记忆准确持久。因为视力不好，书写困难，他上课不记笔记，全神贯注于听讲、思索、理解，长期的磨练，使他具备了运用大脑完成复杂运算，构思长篇论文的能力。1871年，17岁的彭加勒报考高等工业学校，轻松地解决了主考官特意为他设计的难题，尽管他的几何作图得了零分，学校也破格录取。1879年，25岁的彭加勒获数学博士学位，32岁任数学和物理学教授，以后在科学园地里辛勒耕耘26年。
非欧几何创始人之一
罗巴切夫斯基(1792-1856)，俄国数学家，非欧几何的创始人之一。生于诺夫哥罗得即现在高尔基城。10岁进入中学，15岁进喀山大学，19岁获硕士学位，24岁任喀山大学数学教授。1826年2月6日罗巴切夫斯基在喀山大学提出了用法文写的论文《几何学原理简述及平行线定理的严格证明》。人们把这一天公认为是新几何的诞生日。1827年7月30日被选为喀山大学校长，一直连任到1846年。1829年《喀山通报》第一次登载了他的几何论述“关于几何学原理”。他的主要功绩是改变了欧几里得几何中的平行公理(即第五公设)，提出了一种新的几何学，称为“双曲几何学”或罗巴切夫斯基几何学。但是它和传统的欧氏几何发生了矛盾，所以最初发表时不能被人理解，甚至被认为是荒谬的，因而在他生前这种几何思想未被人们重视。1856年2月24日罗巴切夫斯基逝世，1893年在他诞生100周年之际，为了纪念他在数学史上的杰出贡献，喀山大学树起了他的纪念像。1896年9月1日又在喀山大学对面树起了罗巴切夫斯基的纪念碑，将他的名字载入世界数学的光辉史册。
沈括和他的隙积术
沈括(公元1031～1095)是我国古代卓越的科学家，他出生于钱塘(杭州)。有一天，他和朋友在一家酒店喝酒时，看到院子里整整齐齐放着一堆酒坛。
“你猜，这堆酒坛有多少个？”朋友好奇地问，“一共有122个。”沈括沉思了一会儿回答。
后来，他的朋友把这堆酒坛搬开来，一个一个点了一下，果然一个不多，一个不少，恰好是122个，猜得真准呀！