地球人都知道的知识
“人总会有一死”、“太阳绕着地球转”……对于这些事实，人所共知，且所有人都知道其他人知道自己知道这些事实，其他人也知道别人知道他知道……公共知识在我们的日常对话和交流中起着十分重要的作用，它既是人们进行交流和对话的起点——从已知的公共知识入题，也是交流和对话的终点——形成新的公共知识。
庄子与惠施的“鱼乐之辩”
在阿拉伯国家，流传着这样一则谚语：愚蠢的人无知，并且不知道自己无知——远离他；单纯的人无知，但知道自己无知——教育他；迷迷糊糊的人有知，但不知道自己有知——唤醒他；睿智的人有知，并且知道自己有知——追随他。
古希腊哲学家苏格拉底被人们认为是世界上最聪明的人之一。但他不明白自己何德何能，为什么被推崇为是世界上最聪明的人。于是，他到处与所谓的“学富五车”的知识人对话。通过不断与他们对话，苏格拉底发现，自己与其他人的不同之处在于：“我知道自己无知”。
在《庄子·秋水篇》中记述了这样一段辩论故事。其原文如下：庄子与惠子游于濠梁之上。庄子曰：“儵鱼出游从容，是鱼之乐也？”惠子曰：“子非鱼，安知鱼之乐？”庄子曰：“子非我，安知我不知鱼之乐？”惠子曰：“我非子，固不知子矣；子固非鱼也，子之不知鱼之乐，全矣。”
庄子曰：“请循其本。子曰‘汝安知鱼乐’云者，既已知吾知之而问我。我知之濠上也。”
我们把它翻译为白话文就是：
庄子与惠子在濠水的桥上游玩。庄子说：“白儵鱼在河水中悠闲自在地游来游去，鱼多么的快乐啊。”
惠子说：“你不是鱼，怎么知道鱼很快乐呢？”庄子说：“你不是我，怎么知道我不知道鱼的快乐呢？”惠子说：“我不是你，固然不知道你；但你本来就不是鱼，你不知道鱼的快乐，也是完全可以肯定的！”
庄子说：“还是让我们接着先前的话来说。你刚才说‘你怎么知道鱼很快乐呢’，就说明你已经知道了我知道鱼的快乐而在问我，而我则是在濠水的桥上知道鱼快乐的。”
庄子与惠子辩论的中心是，能否知道他人对某个事实的“知道”情况。庄子认为“能”，惠子则认为“不能”。然而在他们的辩论过程中，存在着他们两人都认可的东西，如：“子非鱼”、“子非我”、“我非子”。这些彼此双方都认可的东西就构成了庄子与惠子辩论的前提。对于这些已被认可的前提，庄子与惠子知道，并且知道对方知道，还知道对方知道自己知道……这是庄子与惠子之间的公共知识。
这个故事引出博弈论中一个非常重要的概念——公共知识。究竟什么是公共知识呢？要弄清什么是公共知识，我们必须首先搞清楚什么是知识。
所谓知识，是人们在改造世界的实践中对某个事实的认识和经验的总和。我们说某人拥有某种知识，意指某人知道某个事实。“太阳从东方升起”是个事实，这个事实已几乎被所有人熟知，且人们也相信这个事实，于是“太阳从东方升起”构成了人们的知识。因此知识的形成必须具备三个因素：
——构成“知识”的对象必须是真实存在的，虚假的、不存在的东西不能成为知识。比如在偏僻的农村，愚昧使人们相信人的疾病是由鬼怪引起的，巫婆通过某些迷信活动能够驱除病魔达到治病的目的，这当然只是人们的一种错误的信念，而不是真的事实，所以它不构成知识；——某个人若拥有某种知识，就必须知道构成这个知识的真的事实。对于自然界中存在着的许多真的事实，我们并不知道，就不能说它们构成了我们的知识；——人们要相信他所知道的真的事实。如果他知道但并不相信某些事实，也不构成他的知识。
知道了“知识”的内涵，我们就不难理解“公共知识”的概念。所谓公共知识，是指某一个群体的知识，也就是构成一个群体的所有人之间对某个事实“知道”的关系。
假定一个人群只有甲、乙两个人构成，两人均知道且相信一件事实P，那么，我们就可以说P是甲、乙的知识。但此时并不能说P就是他们的公共知识，而只有当甲、乙双方均知道对方知道P，并且他们彼此都知道对方知道自己知道P……这时我们就可以说P成了甲、乙之间的公共知识。
如果这个群体是由多人组成的，就不单指任意两个人之间的这样一个双方“知道”某件事实的过程，还指群体当中每个人知道该群体的其他人知道这个事实，并且其他人也知道其他的每个人都知道自己知道这个事实……这是一个无穷的“知道”过程。
好玩的数学——谁的脸上沾有泥巴
我们将用一个有趣的推理故事来说明什么是公共知识。
假设教室中有n个孩子围坐在一起，其中有m个孩子的脸上沾有泥巴。这些孩子除了看不到自己脸上是否有泥巴外，都能看到其他孩子脸上是否有泥巴。老师走进教室，对所有人说：“你们中有人脸上沾有泥巴，有的没有泥巴，知道自己脸上沾有泥巴的孩子请举手。”
假定这群孩子各个都是逻辑学高手，都能够进行严密的逻辑推理，并且他们之间也没有进行信息交流。请问：当老师重复询问以上问话多少遍时，才会有孩子举手，以及有多少个孩子同时举手？这就是博弈论中著名的“脸上沾有泥巴的孩子”之谜。
为了便于推理，现在我们假定n为10。
在老师未进入教室之前，这10个孩子所组成的群体拥有的公共知识为“：任何一个孩子都具有逻辑推理能力”、“每一个孩子都听老师的话”、“老师所说的每一句话都是真的”、“每个孩子都不清楚自己脸上是否沾有泥巴”。
当老师进入教室，说“你们中有人脸上沾有泥巴”时，就增加了这个群体之间的公共知识——在他们所组成的这个群体中，至少有一个小孩的脸上是沾有泥巴的。也就是说，“至少有一个小孩的脸上是沾有泥巴的”成为了这10个孩子的新的公共知识，即每个小孩都知道这个事实，每个小孩也都知道其他任何一个小孩都知道他知道这个事实……老师接着问：“知道自己脸上沾有泥巴的孩子请举手”。不管有没有人举手，都是每个小孩能够观察到的。就是说，当老师问过这句话之后，有人举手或没有人举手现象的发生都会改变这个群体原先的公共知识。
假设这10个孩子中间有1个孩子的脸上沾有泥巴，除了这个沾有泥巴的孩子不知道谁的脸上沾有泥巴之外，其他孩子都能够看到并且知道谁的脸上沾有泥巴。当老师说“你们中有人脸上沾有泥巴”后，脸上沾有泥巴的孩子看到其他孩子的脸上并没有泥巴，他自然会推理得出结论：自己的脸上沾有泥巴。
而其他孩子根据现在掌握的信息和已有的公共知识是不能判断出自己的脸上是否沾有泥巴的，所以，当老师说“知道自己脸上沾有泥巴的孩子请举手”后，沾有泥巴的孩子马上就会举起手，而其他孩子则不会采取任何行动。
假如这10个孩子中有2个孩子的脸上沾有泥巴，尽管老师公布了“你们中有人脸上沾有泥巴”，2个脸上沾有泥巴的孩子因看到另外有1个孩子的脸上沾有泥巴，所以他不能据此得出自己的脸上是否沾有泥巴，其他8个孩子也同样不能得出自己脸上是否沾有泥巴。
因此，当老师第一次说“知道自己脸上沾有泥巴的孩子请举手”后，10个孩子都没有举手。这时，所有孩子都知道了现在这个情况不是上述只有1个孩子的脸上有泥巴的情况了，换句话说，就是这10个孩子当中至少有2个孩子的脸上沾有泥巴。
当老师第一次问话结束所有孩子都没有举手时，这2个脸上沾有泥巴的孩子因只看到另外1个孩子的脸上沾有泥巴，马上推理得出自己的脸上沾有泥巴。所以，当老师第二次说“知道自己脸上沾有泥巴的孩子请举手”时，脸上沾有泥巴的2个孩子都举起了手。
如果这10个孩子的脸上都沾有泥巴，老师第十次说“知道自己脸上沾有泥巴的孩子请举手”时，这10个孩子便都会不约而同地举起手。
由上面的分析我们可以得出，这个“脸上沾有泥巴的孩子”之谜的答案是：假定一群孩子中有m个孩子的脸上沾有泥巴，老师第一次到第m-1次说“知道自己脸上沾有泥巴的孩子请举手”时，没有一个学生主动举手，这意味着他们都不清楚自己脸上是否沾有泥巴。当老师第m次说“知道自己脸上沾有泥巴的孩子请举手”时，所有m个脸上沾有泥巴的孩子都举起了手。
对博弈而言，肯定存在着某些被大家所共知的知识，即公共知识，而博弈均衡的产生也正是依赖于这些共知的知识，只不过是不同博弈的共知的知识不同而已。还可以确定一点的是，在博弈的过程中，大家共知的知识不是参与者知道的唯一内容，除此之外还存在着只有自己知道而别人不知道的内容。
这可分为两种情况：一是有些知识博弈双方都知道，但不知道对方知道不知道，也不知道对方是否知道自己知道或不知道；另一种情况是，有些知识是博弈的一方知道，而另一方不知道，这时也形成了均衡。
谎言的“保镖”
很久以前，有一个皇帝特别爱穿漂亮衣服，每隔一小时他就要换一套新衣服。人们提到他总是说“皇上在更衣室里。”
有一天，两个骗子来到皇帝居住的皇城里，自称是织工，并到处散布消息说，他们能织出任何人都没有见过的、世间最美丽的魔布。用这种布做出来的衣服不仅华丽，而且还有一种奇怪的特性：任何不称职的或者愚蠢得不可救药的人都看不见衣服。
“这不正是我想要的衣服吗？”皇帝心想，“穿上了它，我不仅可以看出哪些大臣不称职，还可以很容易地辨别出哪些人是聪明人，哪些人是傻子。”皇帝马上下令把那两个骗子召进了宫，并给了他们许多金子，让他们马上开始工作。
两个骗子架好织布机，整天煞有介事地在织布机旁忙碌着。其实他们的织布机上连一点东西的影子都没有。
皇帝迫切地想看看这种布是怎么织出来的，但是他又有点儿担心。于是，皇帝派了自己最忠诚的宠臣去检查工作的进度。“这个人肯定能看出布料是怎么做出来的，因为他很有头脑，而且谁也不像他那样称职。”
然而这位宠臣来到那两个骗子的工作地点后，惊呆了，眼睛睁得有碗口那么大：“天啊，我什么也看不见！难道我是愚蠢的人吗？难道我不胜任自己现有的职位吗？这是多么可怕的事情啊！这可千万不能让其他人知道。”那两个骗子加上一些新鲜名词，把他们所谓的“布”的稀有的色彩和花纹绘声绘色地描述了一番，又请求大臣走近一点，指着那两架空空的织布机问他，布的花纹是不是很美丽，色彩是不是很漂亮。
“啊，美极了！真是美妙极了！”宠臣对骗子所描述的布赞不绝口。“您一点意见也没有吗？”一个骗子问道。
“是的，多么美的花纹！多么美的色彩！我将要呈报皇上说我对于织出的布料感到非常满意。”
回去后，那位宠臣将骗子的话一字不漏地汇报给了充满期待的皇帝。那两个骗子趁机又向皇帝要了很多金子，说是为了织布的需要。他们把金子都装进了自己的腰包，连一根线也没有放到织布机上去。只是他们依然在空空的机架上工作到深夜。
皇帝决定亲自去看一看衣服制作的过程。当一行人陪着皇帝来到两个骗子工作的地方之后，皇帝同样被眼前的情景惊呆了，“这是怎么一回事儿呢？我什么也没有看见！难道我是一个愚蠢的人吗？”皇帝简直不敢相信这是事实。
“皇上请看，多么美丽的花纹！多么美丽的色彩！”随行官员都指着他们以为别人一定会看得见的这种新奇的“布料”大加赞赏。“真美丽！真精致！真是好极了！”每个人都随声附和着。
皇帝也开始怀疑自己是愚蠢的人，但也不敢表露出自己的“愚蠢”，“啊，它真是美极了！”皇帝说，“我表示十二分的满意！”
为了表示对新衣服的满意，皇帝还特意搞了一次盛装游行。
在盛装游行的头天晚上，两个骗子整夜没睡，点起16支蜡烛，加班加点地赶制皇帝的新衣。只见他们先是把“布”从织布机上取下来，然后在空中挥舞着两把大剪刀裁了好一阵子，最后坐下来用没有穿线的针缝了一通。“谢天谢地！新衣服终于缝好了！”两个骗子齐声说道。
盛装游行那天，皇帝脱掉了原来的衣服，骗子们装模作样地做出给他穿衣服的样子。“这衣服轻柔得像蜘蛛网一样，穿着它的人会觉得好像身上没有什么东西似的——这也正是衣服的妙处。”骗子时刻不忘自圆其说。
“上帝，这衣服多么合身啊！式样裁得多么好看啊！”大家议论纷纷。“多么美的花纹！多么美的色彩！这真是一套贵重的衣服！”
盛装游行开始了，皇帝穿着所谓的“新衣服”步出宫殿，骄傲地昂着头，向他的臣民们致意。全城的人都听说了这件奇异的新衣，都知道只有聪明的人才能看到新衣，愚蠢的人是看不到的。“乖乖，皇上的新装真是漂亮！”大家谁也不愿意让别人知道自己看不见任何东西，因为这样就会暴露自己不称职，或是太愚蠢。
就在这个时候，一个小孩突然说：“可是皇上什么都没穿啊！”这一声无疑使人们心中的石头有了着落。于是，大家私下传播着这个天真无邪的小孩的真话。人们开始相信小孩说的话是真的了。“皇上真的是没有穿衣服呀！”最后所有的老百姓都这样说。
皇帝有点儿发抖，因为他似乎觉得老百姓所讲的话是对的。但他没办法就此回头，回头就意味着承认自己的无知，“我必须把游行大典举行完毕。”因此他摆出一副更骄傲的神态，更加高傲地向前走去。
在这个童话中，骗子们正是利用信息不对称耍弄了这个国家的人们。只有骗子们才知道，所谓的皇帝的新衣，其实并不存在，什么也没有。而“看不见新衣的人是愚蠢的”只是一句谎言，但众人却不知道这是一个谎言，也不知道其他人也看不见新衣这个信息，只知道“我看不见衣服”。正是这种不对称信息的存在，才上演了“皇帝的新装”这样的闹剧。