什么是数学
数学就像空气一样，无时不有，无处不在，谁都离不开它，但谁也不能直接看清它的面貌、它的影子。
我们观看精彩的体育比赛，比分牌记录着赛场风云的是数字，显示球员们位置的是他们背上的数字；我们乘车旅行，对号入座靠的是数字；考试卷上记载成绩的也是数字；每个人的年龄、身高、体重等都要用数字；市场里的商品，股市上的股票，更是离不开数字……总之，我们每天都要与数字打交道。
我们看到的日月星辰、高山大河、花草树木、鱼虫鸟兽；从庄严的天安门和雄伟的长城，一直到小小的文具盒、铅笔、橡皮等，世界上的一切事物，都有它们各自不同的形状。所以，科学家们发现，数量和形状是事物最基本的性质。恩格斯在谈到数学的时候，曾经指出：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系。”那么，什么是数学呢？可以说，数学是一门研究客观物质世界的数量关系和空间形式的科学。当然，数学所研究的数量和形状，它的含义比日常生活中所讲的含义要深广得多。它既是一门科学，也是人类活动的重要工具。
数的形成
数是“数（shǔ）”出来的。这句话确切地反映了数的概念产生的缘由。早期的人类大约也没有数（shǔ）的必要。从现在尚存在原始部落的语言中可以发现，他们甚至不具备表示“3”以上的数。美国人类学家柯尔对澳洲原始部落研究后发现，很少有人会辨别4个东西，无须数（shǔ）数的原因之一，大约是占有物的贫乏。另外，没有物的集合体的概念也是产生不出数（shǔ）活动的原因。例如，一些原始部落能区分出成百种不同的树木，并赋予它们各种不同的名称，却不存在“木”这一概括性概念。数是集合的一种性质，没有集合的概念，自然也就难以产生揭示其性质的活动。
大约在距今1万年之前，随着地球上冰水消融、气候变化，人类中的一部分开始结束散居的游牧生活，在大河流域定居起来，于是农业社会出现了。农民既靠地又靠天，因此他们十分关心日月的运行和季节的变化。此外，种植和贮藏、土地划分和食粮分配，以及随之而出现的贸易和赋税等，都潜在而又强烈地促使了数（shǔ）数的必要，为数的概念和记数方法的产生提供了坚实的物质基础。
数觉与等数性
正整数的产生是在有史以前。人类起先并没有数的概念，对于物质世界中的数量关系的认识，只有一些模糊的感觉，这种感觉，有人称之为“数觉”。已经证实，有些动物，如许多鸟类也具有“数觉”。由于人类能认识世界，改造世界，在长期实践过程中，形成了数的概念。
在远古时代，原始人为了谋生，最关心的问题是有或没有野兽、鱼或果实，有则可以饱餐一顿，无则只好饿肚子。因此，人类就有了“有”与“无”的认识。进一步认识“有”的结果，引出了“多”与“少”的概念。这就使人类对数量关系从孤立的认识提高到比较阶段。
在多与少的分辨中，认识“1”与多的区别又是必然而关键的一步。从孩提认识“1”的过程可以推测，人们最初对“1”的认识是由于人通常是用一只手拿一件物品产生的。也就是说，它是由一只手与一件物品之间的反复对应，在人的头脑中形成的一种认识。
建立物体集合之间的一一对应关系是数（shǔ）“数”活动的第一步。在这一活动中，不仅可以比较两个集合的元素之间的多或少，更主要的是可以发现相等关系，即所谓的等数性。
尽管集合与映射的概念直到19世纪才出现，但人们对集合间等数性的认识与一一对应思想却早已有之。因而，人们用所熟悉的东西来表示一个集合的数量特征。例如，数“2”与人体的两只手、两只脚、两只耳朵、两只眼睛等联系在一起。汉语中的“二”与“耳”同音，也即某一个集合中元素的个数与耳朵一样多，这就是利用了等数性。据说，古代印度人常用眼睛代表“2”。
在数的概念形成过程中，对等数性的认识是具有决定意义的一件事。它促使人们使用某种特定的方式利用等数性来反映集合元素的多少。
根据考古资料，远古时代，人们用来表示等数性的方法很多，例如，利用小石子、贝壳、果核、树枝等或者用打绳结或在兽骨和泥板上刻痕的方法。这种计算方法的痕迹至今仍在一些民族中保留着。有时候，为了不丢失这些计算工具，而把贝壳、果核等串在细绳或小棒上，这样记下来的并不是真正的、抽象的数，只是集合的一类性质——数量特征的形式转移。
除了实物计数，人们还利用自己的身体来计数，利用屈指来计数：表示一个物体伸一个指头，表示两个物体伸两个指头，如此下去。直到现在，南美洲的印第安人还是用手指与脚趾合在一起表示数“20”。屈指计数为五进制、十进制等记数制的产生提供可能，当这种可能变成事实时，数的概念连同有效的计数技术也就产生了。
等数性刻画了集合的基数。当人们利用屈指记数时，不自觉地从基数转入了序数。例如，要表示某一集合包含三件事物时，人们可以同时伸出三个手指，这时的手指表示基数。如果要计数，他们就依次屈回或伸出这些手指，这时手指起了序数的作用。
无论是实物计数还是屈指计数都不是最理想的计数方法。实物计数演变为算筹、算盘。屈指计数沿着两个方向发展。
一个方向是探求手指计数的更理想的发展。例如，新几内亚的锡比勒部族人，利用手指和身体的其他部位，可以一直计数到27。中国有一种手指计数法，最高可算到10万。即使在现代，除了小孩初学计数时仍用手指外，在证券交易所也有用手指计数的。然而随着数的语言、符号的产生、教育的普及，屈指计数的技术最终还是被淘汰了。
屈指计数发展的另一个方向是指计数和实物计数相结合，这个方向上创造出了进位制计数方法和完整的数的概念。
甲骨文上的十进制与八卦中的二进制
中国是十进制和二进制的故乡。中国数学在人类文化发展的初期，远远领先于巴比伦和埃及。
八卦
中国早在五六千年前，就有了数字符号。到三千多年前的商朝，刻在甲骨或陶器上的数字已十分常见。1899年从河南安阳发掘出来的龟甲和兽骨上所刻的象形文字（甲骨文）中载有许多数字记录，比如“八日辛亥允戈伐二于六百五十六人”。这说明当时已采用十进制的记数方法，而且有从一到百、千等的十三个记数单位。当时在运算过程中用的是算筹，算筹纵横布置，就可以表示任何一个自然数。据考证，至少在公元前8世纪到前5世纪，我国算筹已经完备，而印度是在公元876年才正式使用“0”这一符号。所以我国是名副其实的十进制的故乡。
中国的二进制源于八卦，记载于《易经》一书中。计算机的创始人莱布尼兹通过对《易经》的研究，认为《易经》图形表示从零开始到前64个数，所记录的就是二进制。这就是我国常说的太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦……
结绳记事
结绳记事数学最初是从结绳记事开始的。从大约300万年前的原始时代起，人们通过劳动逐渐产生了数量的概念。他们学会了在捕获一头野兽后，用一块石子、一根木条来代表，或用绳打结的方法来记事、记数。这样在原始人眼里，一个绳结就代表一头野兽，两个结代表两头……或者一个大结代表一头大兽，一个小结代表一头小兽……数量的观念就是在这些过程中逐渐发展起来的。