数学悖论
常识和科学告诉我们：假如说一个论断是正确的，那么，无论作怎样的分析、推理，总不会得出错误的结论；反过来，也是一样。于是，早在两千多年前的古希腊，人们就发现了这样的矛盾：用公认的正确推理方法，证明了这样两个“定理”，承认其中任何一个正确，都将推证出另一个是错误的。甚至有这样的命题：如果承认它正确，就可以推出它是错误的；如果承认它不正确，又可以推出它是正确的。
这种事看来十分荒唐，而事实上它是客观存在的。这种现象科学家称之为“悖论”。今天，虽然数学家还不能合理地解释悖论，但正是在这种解释的努力中，数学家一系列的发现，导致了大量新学科的建立，推动了数学科学的发展。悖论还反映了严密数学科学并不是铁板一块，它的概念、原理之中也存在许多矛盾。数学就是在解决矛盾中逐渐发展完善起来的。悖论的存在，还告诉人们，在学习与研究数学时，必须牢记古希腊数学家的名言：要怀疑一切，只有这样才能有所发现。
罗素悖论
罗素一天，萨维尔村理发师挂一块招牌：村里所有不自己理发的男人都由我给他们理，我也只给这些人理发。于是有人问他：“您的头发由谁理呢？”理发师顿时哑口无言。因为，如果他给自己理发，那么他就属自己给自己理发的那类人，但是，招牌上说明他不给这类人理发，因此他不能自己理。如果由另外一个人给他理发，他就是不给自己理发的人，而招牌上明明说他要给所有不自己理发的男人理发，因此他应该自己理。由此可见，不管怎样推论，理发师的话都自相矛盾。
这就是著名的“罗素悖论”，它是由英国哲学家罗素提出来的。他把关于集合论的一个著名悖论用故事通俗地表达出来。
1874年，德国数学家康托尔创立了集合论，而且很快渗透到大部分数学分支，并成为它们的基础。但到了19世纪末，集合论中接连出现了一些自相矛盾的结果，特别是1902年罗素悖论的提出，使数学的基础动摇了，这就是所谓的第三次“数学危机”。
此后，为了避免这些悖论，数学家们做了大量研究工作，由此产生了大量新成果，也带来了数学观念的革命。
部分与整体相等吗
整体大于部分，这是一条古老而又令人感到无可置疑的真理。把一个苹果切成三块，原来的整个苹果当然大于切开后的任何一块，但这仅仅是对数量有限的物品而言的。17世纪科学家伽利略发现，当涉及无穷多个物品时，情况可就大不一样。
比如有人问你整数和偶数哪一种数多呢？也许你会认为：当然是整数比偶数多，而且是多一倍，我们可以用一一对应的方法来比较一下事实是不是这样：…，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5，6，…；…，－6，－4，－2，0，2，4，6，8，10，12，…。对于每一个整数，我们可以找到一个偶数和它对应，反过来对于每一个偶数我们又一定可以找到一个整数和它对应，这就是整数和偶数是一一对应的，也就是说整数和偶数一样多。为什么会得这样的结论呢？这是因为我们现在讨论的整数和偶数是无限多的，在无限的情况上整体可能等于部分。
在这个思想的启发下，19世纪后期德国数学家康托尔创立了集合论。它揭示出：部分可以和整体建立一一对应关系。它也告诉人们：不要随便地把在有限的情形下得到的定理应用到无限的情形中去。
任意三角形都等腰吗
设ABC为任意三角形，作∠C的平分线和AB边的垂直平分线，设两线的交点为E。从E作AC和BC的垂线EF和EG，并且连结EA和EB。
现在，直角三角形CFE和CGE是全等的，因为每一直角三角形都以CE为共同的斜边，而且∠FCE＝∠GCE（由角平分线定义），于是，CF＝CG。同时，直角三角形EFA和EGB是全等的，因为一个三角形的直角边EF等于另一个直角边EG（角C的平分线与该角的两边距离相等），并且因为一个三角形的斜边EA等于另一三角形的斜边EB（线段AB的垂直平分线的任意一点E与线段的两个端点距离相等），所以FA＝GB。
由上面两条得出：CF＋FA＝CG＋GB（等量加等量），即CA＝CB。也就是说，这个三角形是等腰的。
这个结论肯定是错误的，因为很容易作出一个三条边长为3、4、5的三角形，它当然不是等腰三角形，而我们的结论却说这样一个三角形也一定是等腰的。那么，错误出在哪里呢？问题在于：E点的位置一般来说总是在△ABC的外面而不是在它的里面。可见，正确作图也可以帮助我们理解许多问题。
直角也能等于钝角吗
直角等于90°，而钝角都大于90°，它们怎么能相等呢？
设ABCD为任意矩形，在矩形之外作与BC等长的线段BE，因而它也等于AD。作DE和AB的垂直平分线：因为它们垂直于不平行的直线，它们必定相交于一点P。连AP，BP，DP，EP。由于在一条线段的垂直平分在线任意一点到该线段的两个端点等距离，所以PA＝PB，PD＝PE。此外，根据作图，AD＝BE，所以，在△APD和△BAP中，三条边分别对应相等。于是，△APP与△BPE是全等的。所以∠DAP＝∠EBP，但是，因为∠BAP与∠ABP是等腰三角形APB的底角，所以∠BAP＝∠ABP。于是∠DAP－∠BAP＝∠EBP－∠ABP（等量减等量），即∠DAG＝∠EBA。也就是说一个直角等于一个钝角。
谁都知道这个结果是错的，但错在什么地方呢？原来，一般来说，PE根本就不会通过矩形ABCD的内部。只要把图作得标准一点，就会发现这一点。
中立原理
火星上有人吗？世界会发生一场核战争吗？如果你回答这类问题，说肯定和否定是同样可能的，你就笨拙地应用了“中立原理”。不小心使用了这一原理使很多数学家、科学家，甚至伟大的哲学家陷入糊涂中。经济学家约翰·凯恩斯在他著名的《概率论》一书中把“理由不充足原理”更名为“中立原理”，说明如下：如果我们没有充足理由说明某事的真伪，我们就选对等的概率来确定每一事物的真实值。现在让我们看看如果把上述原理应用于火星和核战争问题，将引起怎样的矛盾？火星上可能有某种生命形式的概率是多少？应用中立原理回答是1/2。在火星上连简单的植物生命都没有的概率也为1/2。没有单细胞动物的概率还是1/2。按照概率定律，后两种情况同时存在的概率是1/2乘1/2，答案为1/4。这就意味着火星上有某个形式生命的概率将增到1－1/4＝3/4。这就说与我们估计的1/2相矛盾了。根据中立原理，在公元2020年发生核战争的概率为1/2。那么原子弹不会落在美国、俄罗斯等任何一国国土上的概率也为1/2。如我们将这一理由应用到10个不同国家，则原子弹不会轰炸其中任何一国的概率就是1/2的10次方，即1/1024，用1减这个数就得到原子弹轰炸任何一国的概率为1023/1024。
其实，中立原理在概率论中是可以合法应用的，但仅当两种概率相等时才奏效。
人口爆炸
人口爆炸近来，我们听到很多关于地球上人口增长多么快的议论。妇女反对控制生育，同盟主席宁尼夫人不同意这种说法，她的观点是：一个人生来就有父母双亲。这父母二人中每一个又有一父一母。这就有四个祖父母辈的人。每个祖父或祖母又有父母二人，所以就有8个曾祖父母。你每往上数一辈，祖宗的数目就增加一倍。如果你回溯到中世纪，你就会有1048576个祖宗！把这个应用到今天每人活着人的身上，那么中世纪的人口就会是现在人口的100多万倍！宁尼夫人肯定不对，可是她的推理哪出了错呢？
宁尼夫人论点的谬误在于：她既没有考虑到一个祖宗上远亲联姻的夫妇，又没考虑到构成每个活人的祖宗上的人群的大量“交叠”。这样她在关于人口中就有成千上万人计算了成千上万次，所以导致了她这一谬误的观点。
绕着一个姑娘转圈
“啊！梅蒂尔，你在树后藏着吗？”当一个男孩绕着树转的时候，梅蒂尔也这样做，她绕着树横走，鼻子总是朝着树，所以那男孩始终看不到她。他们这样绕树转一圈后，都回到了原来位置。这时，男孩绕梅蒂尔转了一圈吗？当然了，他既然绕着树转了一圈，就必然绕着姑娘也转了一圈，但是，这个观点并站不住脚，因为即使那里没有树，他也一直未能看到梅蒂尔的后背，既然是绕着一个物体转一圈怎么能看不到它的所有各面呢？
这个古老的悖论一般是以猎人和松鼠的形式出现，松鼠蹲在树枝上，猎人绕着树枝转的时候，松鼠也一直在转，所以它总是在面向猎人。当猎人绕树转一圈后，他也绕松鼠转了一圈吗？
“绕着转了一圈”这意味着什么？如果我们在这方面没有一致的看法，则对上面的问题显然是无法回答的，当双方一旦认识到他们所争论的只是如何定义一个词时，困难就很快解除了。
不可逃遁的点
帕特先生沿一条小路向山顶进发。他早晨七点动身，当晚七点到达山顶。第二天早晨七点沿同一条小路下山，那天晚上七点钟，他到达山脚。在那里，他遇到了他的拓扑学老师克莱因夫人。克莱因夫人对他说：“你好，帕特！你可曾知道你今天下山时走过这样一个地方，你通过这点的时刻恰好与你昨天上山时通过这点的时刻完全相同？”帕特听后非常惊讶：“您一定是在开我的玩笑，这绝对不可能，我走路时快时慢，有时还停下休息和吃饭。”克莱因夫人笑了笑说：“你可以设想一下，当你开始登山的时候，你有个替身在同一时刻开始下山，那么你们必定在小路上某一点相遇。我不能断定你们在哪一点相遇，但一定有这样一点。”这个故事为拓扑学家所称为“不动点定理”提供了一个很简单的例证。这个定理首先为荷兰数学家L·E·J·布劳尔在1912年所证明。它具有许多奇妙的应用。例如，由这个定理可以断言：在任一时刻，在地球上至少有一个地点没有风。用它还讲了这样一个事实：如果一个球面完全被毛发覆盖，那么无论如何也不能把所有的毛发梳平，有趣的是，我们却可以把覆盖整个圆环面上的毛发梳平。
小世界概论
近来很多人相信巧合是由星星或别的神秘力量引起的。譬如说，有两个互不相识的人坐同一架飞机，二人对话。甲说：“这么说，你是从波士顿来的！我的朋友露茜·琼斯是那的律师。”乙说：“这个世界多小啊！她是我妻子最好的朋友！”这是不大可能的巧合吗？统计学家已经证明并非如此。
在麻省理工学院，由伊西尔领导的一组社会科学家对这个“小世界概论”做了研究。他们发现，如果在美国随选两个人，平均每个人大约认识1000个人。这时，这两个人彼此认识的概率为1/100000。而他们有一个共同的朋友的概率却急剧升高到1%。而他们可由一连串熟人居间联系（如上面列举的二人）的概率实际上高于99%。换言之，如果布朗和史密斯在美国任意选出的两个人，上面的结论就表示：一个认识布朗的人，几乎肯定认识一个史密斯熟识的人，这回你应该明白为什么“世界这么小”了吧？那是因为人与人之间由一个彼此为朋友的网络联结，而且这个网络联结得相当紧密。