机会终于来了。这一天，诸葛亮来到吴都建业，屁股还没坐稳，就有几位将军围了上来，说：“听说先生能掐会算，料事如神，很想当面请教。”“不敢当！”诸葛亮笑了笑说，“不过众家将军如有什么吩咐，尽管直言。”“那好，我们就请教了。现在本城四门都有守门军士，我们不说东、西、北三门，只说这对面的南门，那里的守门人数，相信先生一定能算得出来。先生您就不必推辞了。”诸葛亮一听，心里很不高兴，但他声色不露地说：“众家将军问得好，不过要回答这个问题，山人需要借助诸位先把四门将士调动一下。
首先（调整）使每门人数一样多。其次（初步调动）先从南门分别向东、西、北门调去1人、2人、3人，再从东门调到西门1人，西门调到北门1人，北门调到南门2人。最后（关键调动）数一数南门现在有多少人，就从其他三门分别调入多少人。”
这些将军一一照办后，诸葛亮面带笑容，说：“众家将军，现在山人就告诉你们东、西、北三门的人数。至于面前这座南门嘛，我想就不必再说了！这东门有……”“算得好准”。诸葛亮话音刚落，几位将军就同时伸出了大拇指。
诸葛亮是怎么算出来的呢？道理如下：设每门都是m人，初步调动后：
东门为m+1-1=m（人），
西门为m+2+1-1=m+2（人），
北门为m+3+1-2=m+2（人），
南门为m-1-2-3+2=m-4（人），
关键调动后：
东门有m-（m-4）=4（人），
西门有（m+2）-（m-4）=6（人），
北门有（m+2）-（m-4）=6（人）。
韩信点兵
韩信是刘邦的领兵元帅，相传韩信只要把队伍的队形进行变换，就可以算出自己有多少军队。例如，三人一行余二人，五人一行余三人，七人一行余二人，此题看起来难以计算。我国古代有一种算法，宋朝周密叫它“鬼谷算”，又名“隔墙算”，杨辉叫它“剪管术”，比较通行的名称叫“韩信点兵”。在《孙子算经》中可以见到其算法，后来数学家秦九韶又推广之，发现了一种算法，叫“大衍求一术”，这在数学史上是著名的问题，后来还流传着一首歌诀：
三人同行七十稀，
五树梅花廿一枝，
七子团圆正半月，
除百零五例得知。
设人数为N，则有N=70×2+21×3+15×2-2×105=23。70是5与7的倍数，除以3余1，为了使其余数为2，所以有70×2；同样21是3与7的倍数，为了能使它除以5余3，所以有21×3；同样15是3与5的倍数，15×2除以7余2；最后减去105的整数倍，因为105是3、5、7的最小公倍数，在70×2+21×3+15×2中完全符合题目的要求，除以3余2，除以5余3，除以7余2，因此N=70×2+21×3+15×2-2×105=23是它的最小值。改为N=105n+23（n是自然数），根据实际情况，就可以有相应的数与之对应，也就是说，韩信知道自己有多少军队。
塔尖灯的盏数
此题是明代珠算家所著《算法统宗》中的一道题：远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增，共灯三百八十一，问问塔尖几盏灯？译成白话文是：远远望去，一座高塔巍巍耸立，共有七层。塔内红灯闪烁，由上至下每一层灯都较上层增加一倍。金塔共有灯三百八十一盏，那么试问塔尖有几盏灯？我们可以先来分析一下，整个塔从上至下数，如果塔尖灯数为1份，第六层则为2份，顺次往下，第五层为4份，第四层为8份，第三层为16份，第二层为32份，第一层为64份，这样根据题意列出代数式：381÷（1＋2＋4＋8＋16＋32＋64）＝381÷127=3（盏）。
我们也可以用方程法解这道题，先设塔尖灯的盏数为X，那么顺次下去。从六层到一层塔灯的盏数分别为2X、4X、8X、16X、32X、64X，根据题意列方程X＋2X＋4X＋8X＋16X＋64X＝381，解方程求得X＝3（盏）。
摩诃毗罗算题
摩诃毗罗（公元9世纪）是印度数学家，在其著作《计算方法纲要》一书中出过这样一题：有檬果若干，大王取1/6，王后取余下的1/5，3个王子分别取前一人余下的1/4、1/3、1/2，最后余下檬果3枚。求原来有檬果多少枚？这道题可以由逆算的方法来算：①三王子取前有多少枚？3÷（1－1/2）＝6（枚）；②二王子取前有多少枚？6÷（1－1/3）＝9（枚）；③大王子取前有多少枚？9÷（1－1/4）＝12（枚）；④王后取前有多少枚？12÷（1－1/5）＝15（枚）；⑤原来有多少枚檬果？15÷（1－1/6）＝18（枚）。所以，原来有檬果18枚（从18枚开始按比例算下去，可知每人取的都是3枚）。
帽子的颜色问题
（1）有三顶红帽子，两顶白帽子，现将其中三顶给排成一列纵队的三人每人戴上一顶，每人都只能看到自己前面的人的帽子，而看不到自己和自己后面人的帽子。从后往前问三人同样的问题：“你戴的帽子是什么颜色？”最后面的人回答说：“不知道。”接着中间的人也说：“不知道。”然而最后回答问题的站在最前面的人却做出了肯定的正确回答。问这个人戴的帽子是什么颜色？
回答这个问题需要做正确的逻辑分析。
在提问后，最后面的人回答“不知道”，从中可断定以下事实：
前面两个人中至少有一个戴红色帽子。不然的话，如果前面两人均戴白帽子，而白帽子只有两顶，最后面的人就会知道自己戴红帽子，不会说不知道。这个事实中间的人也可得知，在此基础上他又回答“不知道”，那么一定是最前面的人戴着红帽子。不然的话，最前面的人若戴白帽子，因他与中间的人两人中至少有一个戴红帽子，那中间的人就一定戴红帽子了，中间的人也不会说不知道。于是，最前面的人戴红色帽子是正确结论。
在这个帽子的颜色问题中，戴着帽子回答问题的三个人应是聪明人，都能正确地进行逻辑推理，并作出正确的判断。如果有一个智力有问题，或胡乱猜测随便回答，那么整个事情就无法正确解释了。
此问题是一个传统的逻辑推理问题，人们经常利用这样的问题考察智力，既要看会不会推理，又要看整个推理过程是不是简明，还要看推理用的时间。在一个好的问题面前，可以充分显示人的思维能力。
中国著名数学家华罗庚对上述帽子的颜色问题作了改造，提出下面的问题：
（2）一位老师让三位聪明的学生看了一下事先准备好的五顶帽子：三顶白色的，两顶黑色的。然后让他们闭上眼睛，他替每个学生戴上一顶帽子，并把其余两顶藏起来，让学生睁开眼睛后各自说出自己戴的帽子的颜色。三人睁眼互相看了一下，踌躇了一会儿，觉得为难，继而异口同声地说自己头上戴的是白帽子。问他们是怎样推演出来的？
先看戴帽情况，有两黑一白、两白一黑、三白共三种情况。
若第一种情况，戴白帽子的学生一看便能说出自己戴的帽子颜色，而实际上三人睁眼互相看了一下，踌躇了一会儿，没一人马上说出，这表明这种情况是不符合现实。
这样三人都明白其中至多只有一人戴黑帽子，如果有一人戴黑帽子，另外两人必会立刻说出自己戴着白色帽子，而不会踌躇且觉得为难。三人均为难说明谁也没有看见有人戴黑色帽子，那么三人戴的都是白色帽子。于是三位聪明学生便异口同声说出自己戴的帽子的颜色。
这个问题初看似乎感到条件不足，然而细一琢磨，“踌躇了一会儿，觉得为难，继后异口同声地说”里面涵义丰富，奥妙无穷。建立在这条件上，便可展开如上推理，层层深入，环环紧扣。
华罗庚推出这一改编的问题，让人深深体会到了数学大师的内在功力，其中表现出高超的思维技巧。
如果把人数增多，还可提出类似的问题：
（3）四个爱动脑筋的小朋友接受老师的智力测验，看谁能最快最准确地回答问题。老师让他们都闭上眼睛，给他们每人戴上一顶帽子，或者是白的，或者是蓝的。然后让他们睁开眼睛，告诉他们：“谁看到的白帽比蓝帽多就马上举手。然后各位说出自己戴的帽子颜色。”大伙互相看了一下（每个人都看不见自己戴的帽子，但能看清别人戴的帽子），谁也没举手，过了一会儿，也没有人说出自己戴的帽子颜色，其中一个叫小光的学生见大家都不说话，就猜出了自己头顶上的帽子颜色。问小光戴的是什么样的帽子。
再来分情况考虑。
如果恰有两个人戴白色帽子，另外两人都会看到两顶白帽，一顶蓝帽。他俩会同时举起手，而实际上无人举手，这表明在四个学生中最多只有一人戴白帽子。
如果只有一个学生戴白帽子，另外三人都会看到一顶白帽，两顶蓝帽，谁也不会举手。戴白帽子的人看到的是三顶蓝帽，也不会举手。三个戴蓝帽的人会想到：“我已看到一顶白帽子，如果我戴的也是白帽，就会有两人举手，而事实上没有举手，说明我戴的是蓝帽。”
可是，仍然没有人举手，这就说明一顶白帽也没有，四人戴的都是蓝帽子。
托尔斯泰的割草问题
俄国大文豪托尔斯泰不仅是文学巨匠，而且是个有名的“数学谜”。一有闲暇，他便动手编创数学题。其中“割草问题”便是其中最有趣的一道题。
一些割草人在两块草地上割草，大草地的面积比小草地的面积大1倍。上午全体割草人都在大草地上割草，下午他们对半分开，一半人留在大草地上，到傍晚时把剩下的草割完；另一半人到小草地割草，到傍晚时还剩下一块没割完。剩的一小块草地第二天由一个人割完。假定每半天的劳动时间相等，每人工作效率亦相同。问共有多少割草人？
下面是托尔斯泰的解法。因为大草地全体人割了一个上午，一半人割了一下午才将草地割完。所以如果把大草地的面积比作是1，那么一半人在半天里割草面积为1/3，另一半人在小草地上工作了一下午的割草面积也应为1/3。由此可推断出第一天割草面积为4/3。剩下的面积是多少呢？由大草地的面积比小草地大1倍，可知小草地面积为1/2。因为第一天下午已割的小草地面积为1/3，那么所剩面积应是1/6，而这1/6恰好是第二天一个人的工作量。所以，将第一天割草总面积除以第一天每人割草面积，就是参加割草的总人数，即4/3÷1/6＝8（人）。
爱因斯坦的奇特记忆方式