书城童书迷雾笼罩的科学(学生最想知道的未解之谜)
2989800000034

第34章 平方数之谜

一般,小学生就知道平方数,22=4,32=9,非常简单。可是现在许多与平方数有关的问题还在困扰着数学家。

17世纪法国数学家费马,本人原是律师,研究数学只是业余爱好。可是他的这种业余爱好,使他成为17世纪欧洲最重要的数学家之一。费马还有一个特点,他对数学规律的发现,大多数都是以猜想的形式提出的。也就是说,他只管提出结论,不管证明。

费马提出许多有关平方数的问题,下面介绍几个:

(1)1640年12月25日费马在给神父梅森的信中提出:一个形如4n+1的素数都可以表示成两个平方数之和。比如,5=4+1,13=9+4,17=16+1,29=25+4等等。

当然,费马对这个结果没有给出证明。100多年以后,瑞士数学家欧拉才结出了证明,并进一步证明了这种表达是惟一的。

(2)一个形如4n+1的素数,把它作为整数边直角三角形的斜边的机会只有一次。比如5,把它作为斜边,只有52=32+42这一种可能。如果把4n+1的素数平方,那么它作为斜边的机会就增加为两次;把它3次方之后就有3次等等。比如5,5的平方是25,而252=152+202=72+242;5的立方是125,而1252=752+1002=352+1202=442+1772。这个问题后来也得到了解决。

(3)整数边直角三角形的面积不能是一个平方数。比如边长为3、4、5的直角三角形,它的面积是6个平方单位,而6不是一个平方数。

这个问题由法国数学家拉格朗日证明是对的。

但是有关平方数的问题很多,并不是都解决了。1770年英国数学家华林推测:每一个正整数都可以表示成4个平方数之和,9个3次方数之和,19个4次方数之和。

华林推测的第一部分,即每一个正整数都可以表示成4个平方数之和,提出不久被法国数学家拉格朗日证明了。

按照华林的想法,上面推测可以推广到更一般的形式:

对每个自然数是K>1,存在一个常数S(k),使每一个自然数可以表示为至多:S(k)个(自然数)的k次方的和。

比如,k=2,s(k)=4,即对于每一个自然数都可以表示为至多4个2次方的和;k=4,s(4)=19,意思是对于每一个自然数都可以表示为至多19个4次方的和。

这个问题的证明十分困难,使得数学家不知从何处下手。经过了很长时间的探索,1909年,德国著名数学家希尔伯特成功地证明了这个问题。英国数学家哈代称赞希尔伯特的工作是“现代数论的一座里程碑”。

但是,华林问题并没有全部解决。希尔伯特只是证明了:S(k)的存在性,并没有给出确定S(k)最小值的方法和数值。我们把S(k)的最小值记为g(k),按照华林的猜测,g(2)=4,g(3)=9,g(4)=19。

猜测g(k)的一般规律是:

g(k)=2k〔(32)k〕-2

这里的〔〕不代表中括号,〔x〕表示x的整数部分,比如〔3.2〕=3,〔613〕=6等等。

1964年,我国数学家陈景润证明了g(5)是对的。g(5)是多少?可以用上述公式算一下:

g(5)=25+〔(35)5〕-2

=32+〔24332〕-2

=32+(71932)-2

=32+7-2=37

也就是说每一个自然数都可以表示成37个非负整数的5次方之和。但至少有一个数不能表示成37-1=36个非负数的5次方之和。

对于上述规律(1),k=4仍没有解决。现在已经证明了g(4)的范围是19≤g(4)≤21,但是不是g(4)=19仍没有证出。

华林问题还没有完全解决,有人又从另一方面提出新的问题。保罗·图兰提出,什么样的正整数可以表示成两两互质的4个整数的平方和?他之所以这样提问题,是因为他确实发现了有不能表示的正整数。比如,他证明了形如8n的正整数8、16、32等等就不能;他又证明了形如6n+5的数11、17、23等等也不能。那么,究竟哪些数能表示呢?这个问题还在探讨中。

保罗·图兰还猜测,任何一个正整数都可以表示成两两互质的整数的平方和,其个数最多是5个。但是对于足够大的所有整数,能表示成恰好5个两两互质的平方数之和吗?至今也没得到肯定的证明。

华林推测,每一个正整数是9个立方数之和。有人嫌9个太多,提出每一个正整数能否表示成4个立方数之和?研究的结果表明,对于所有的正整数是做不到的。可是,除了形如9n±4的数以外,其他的数都可以做到。

有人又提出:每一个整数能否表示成4个立方数之和,并且其中有两个是一样的?也就是说,每一个整数能表示成x3+y3+2z3吗?这个问题对于许多数都没有解决,比如76、148、183、230、253等都不知道能否表示。

看来,平方数之谜还有待研究。