象数一
开元《大衍历法》，最为精密，历代用其朔法。至熙宁中考之，历已后天五十余刻，而前世历官皆不能知。《奉元历》乃移其闰朔。熙宁十年，天正元用午时，新历改用子时；闰十二月改为闰正月。四夷朝贡者用旧历，比来款塞。众论谓气至无显验可据，因此以摇新历。事下有司考定。凡立冬晷景与立春之景相若者也，今二影短长不同，则知天正之气偏也。凡移五十余刻，立冬、立春之影方停。以此为验，论者乃屈。元会使人亦至，历法遂定。
六壬天十二辰：亥曰征明，为正月将；戍曰天魁，为二月将。古人谓之合神，又谓之太阳过宫。合神者，正月建寅合在亥，二月建卯合在戌之类。太阳过宫者，正月日躔娵訾，二月日躔降娄之类。二说一也。此以《颛帝历》言之也。今则分为二说者，盖日度随黄道岁差。今太阳至雨水后方躔娵訾，春分后方躔降娄。若用合神，则须自立春日便用亥将，惊蛰便用戌将。今若用太阳，则不应合神；用合神，则不应太阳。以理推之，发课皆用月将加正时，如此则须当从太阳过宫。若不用太阳躔次，则当日当时日月、五星、支干、二十八宿，皆不应天行。以此决知须用太阳也。然尚未是尽理，若尽理言之，并月建亦须移易。缘目今斗杓昏刻巳不能当月建，须当随黄道岁差。今则雨水后一日方合建寅，春分后四日方合建卯，谷雨后五日方合建辰，如此始与太阳相符，复会为一说。然须大改历法，事事厘正。如东方苍龙七宿，当起于亢，终于斗；南方朱鸟七宿，起于东井，终于角；西方白虎七宿，起于娄，终于参；北方玄武七宿，起于牛，终于奎。如此历法始正，不止六壬而已。
六壬天十二辰之名，古人释其义曰：“正月阳气始建，呼召万物，故曰征明。二月物生根魁，故曰天魁。三月华叶从根而生，故曰从魁。四月阳极无所传，故曰传送。五月草木茂盛，逾于初生，故曰胜先。六月万物小盛，故曰小吉。七月百谷成实，自能任持，故曰太一。八月枝条坚刚，故曰天罡。九月木可为枝干，故曰太冲。十月万物登成，可以会计，故曰功曹。十一月月建在子，君复其位，故曰大吉。十二月为酒醴以报百神，故曰神后。”此说极无稽据义理。予按，征明者，正月三阳始兆于地上，见龙在田，天下文明，故曰征明。天魁者，斗魁第一星也，斗魁第一星抵于戌，故曰天魁。从魁者，斗魁第二星也，斗魁第二星抵于酉，故曰从魁。传送者，四月阳极将退，一阴欲生，故传阴而送阳也。小吉，夏至之气，大往小来，小人道长，小人之吉也，故为婚姻酒食之事。胜先者，王者向明而治，万物相见乎此，胜莫先焉。太一者，太微垣所在，太一所居也。天罡者，斗刚之所建也。太冲者，日月五星所出之门户，天之冲也。功曹者，十月岁功成而会计也。大吉者，冬至之气，小往大来，君子道长，大人之吉也，故主文武大臣之事。十二月子位北方之中，上帝所居也。神后，帝君之称也。天十二辰也，故皆以天事名之。
六壬有十二神将，以义求之，止合有十一神将。贵人为之主；其前有五将，谓螣蛇、朱雀、六合、句陈、青龙也，此木火之神在方左者、其后有五将，谓天后、太阴、玄武、太常、白虎也，此金水之神在方右者。唯贵人对相无物，如日之在天，月对则亏，五星对则逆行避之，莫敢当其对。贵人亦然，莫有对者，故谓之天空。空者，无所有也，非神将也，犹月杀之有月空也。以之占事，吉凶皆空。唯求对见及有所伸理于君者，遇之乃吉。
天事以“辰”名者为多，皆本于“辰巳”之“辰”，今略举数事。十二支谓之十二辰，一时谓之一辰，一日谓之一辰，日、月、星谓之三辰，北极谓之北辰，大火谓之大辰，五星中有辰星，五行之时谓之五辰，《书》曰“抚于五辰”是也。巳上皆谓之“辰”。今考子丑至于戌亥，谓之十二辰者，《左传》云：“日月之会是谓辰。”一岁日月十二会，则十二辰也。日月之所舍，始于东方苍龙角亢之星，起于辰，故以所首者名之。子丑戌亥之月既谓之辰，则十二支、十二时皆子丑戌亥，则谓之辰无疑也。一日谓之一辰者，以十二支言也。以十干言之，谓之今日；以十二支言之，谓之今辰，故支干谓之日辰。日月星谓之三辰者，日月星至于辰而毕见，以其所见者名之，故皆谓之辰。星有三类：一经星，北极为之长；二舍星，大火为之长；三行星，辰星为之长。故皆谓之辰。
《洪范》“五行”数，自一至五，先儒谓之此“五行生数”，各益以土数，以为“成数。”以谓五行非土不成，故水生一而成六，火生二而成七，木生三而成八，金生四而成九，土生五而成十，合之为五十有五。唯《黄帝素问》：“土生数五，成数亦五。”盖水、火、木、金皆待土而成，土更无所待，故止一五而已。画而为图，其理可见。为之图者，设木于东，设金于西，火居南，水居北，土居中央。四方自为生数，各并中央之土，以为成数。土自居其位，更无所并，自然止有五数，盖土不须更待士而成也。合五行之数为五十，则大衍之数也。此亦有理。
揲蓍之法：四十九蓍，聚之则一，而四十九隐于一中；散之则四十九，而一隐于四十九中。一者，道也。谓之无，则一在；谓之有，则不可取。四十九者，用也。静则归于一，动则惟睹其用，一在其间而不可取。此所谓“大衍之数五十，其用四十有九。”
世之谈数者，盖得其粗迹。然数有甚微者，非考历所能知。况此但迹而已，至于感而遂通天下之故者，迹不预焉。此所以前知之神，未易可以迹求，况得其粗也。予之所谓甚微之迹者，世之言星者，恃历以知之，历亦出乎亿而已。予于《奉元历序》论之甚详。治平中，金、火合于轸，以《崇玄》、《宣明》、《明》、《崇》、《钦天》凡十一家大历步之，悉不合，有差三十日以上者，历岂足恃哉。纵使在其度，然又有行黄道之里者，行黄道之外者，行黄道之上者，行黄道之下者，有循度者，有失度者，有犯经星者，有犯客星者，所占各不同，此又非历之能知也。又一时之间，天行三十余度，总谓之一宫。然时有始末，岂可三十度间阴阳皆同，至交他宫则顿然差别？世言星历难知，唯五行时日为可据，是亦不然。世之言五行消长者，止是知一岁之间，如冬至后日行盈度为阳，夏至后日行缩度为阴，二分行平度。殊不知一月之中，自有消长，望前月行盈度为阳，望后月行缩度为阴，两弦行平度。至如春木、夏火、秋金、冬水，一月之中亦然。不止月中，一日之中亦然。《素问》云：“疾在肝，寅卯患，申酉剧。病在心，巳午患，子亥剧。”此一日之中，自有四时也。安知一时之间无四时？安知一刻、一分、一刹那之中无四时邪？又安知十年、百年、一纪、一会、一元之间，又岂无大四时邪？又如春为木，九十日间，当亹亹消长，不可三月三十日亥时属木，明日子时顿属火也。似此之类，亦非世法可尽者。
历法步岁之法，以冬至斗建所抵，至明年冬至所得辰刻衰秒，谓之斗分。故“岁”文从步、从戌。戌者，斗魁所抵也。
正月寅，二月卯，谓之建，其说谓斗杓所建。不必用此说。但春为寅、卯、辰，夏为巳、午、未，理自当然，不须因斗建也。缘斗建有岁差，盖古人未有岁差之法。《颛帝历》：“冬至日宿斗初。”今宿斗六度。古者正月斗杓建寅，今则正月建丑矣。又岁与岁合，今亦差一辰。《尧典》曰：“日短星昴。”今乃日短星东壁。此皆随岁差移也。
《唐书》云：“落下闳造历，自言后八百年当差一算。至唐，一行僧出而正之。”此妄说也。落下闳历法极疏，盖当时以为密耳。其间阙略甚多，且举二事言之。汉世尚未知黄道岁差，至北齐张子信方候知岁差。今以今古历校之，凡八十余年差一度。则闳之历八十年自已差一度，兼余分疏阔，据其法推气朔五星，当时便不可用，不待八十年。乃曰“八百年差一算”，太欺诞也。
天文家有浑仪，测天之器，设于崇台，以候垂象者，则古玑衡是也。浑象，象天之器，以水激之，或以水银转之，置于密室，与天行相符，张衡、陆绩所为，及开元中置于武成殿者，皆此器也。皇祐中，礼部试《玑衡正天文之器贼》，举人皆杂用浑象事，试官亦自不晓，第为高等。汉以前皆以北辰居天中，故谓之极星。自祖亘以玑衡考验天极不动处，乃在极星之末犹一度有余。熙宁中，予受诏典领历官，杂考星历，以玑衡求极星，初夜在窥管中，少时复出，以此知窥管小，不能容极星游转，乃稍稍展窥管候之，凡历三月，极星方游于窥管之内，常见不隐，然后知天极不动处，远极星犹三度有余。每极星入窥管，别画为一图。图为一圆规，乃画极星于规中。具初夜、中夜、后夜所见各图之，凡为二百余图，极星方常循圆规之内，夜夜不差。予于《熙宁历奏议》中叙之甚详。
古今言刻漏者数十家，悉皆疏缪。历家言晷漏者，自《颛帝历》至今见于世谓之大历者，凡二十五家，其步漏之术，皆未合天度。予占天候景，以至验于仪象，考数下漏，凡十余年，方粗见真数，成书四第，谓之《熙宁晷漏》，皆非袭蹈前人之迹。其间二事尤微。一者，下漏家常患冬月水涩，夏月水利，以为水性如此，又疑冰澌所壅，万方理之，终不应法。予以理求之，冬至日行速，天运未期，而日已过表，故百刻而有余；夏至日行迟，天运已期，而日未至表，故不及百刻。既得此数，然后复求晷景漏刻，莫不吻合。此古人之所未知也。二者，日之盈缩，其消长以渐，无一日顿殊之理。历法皆以一日之气短长之中者，播为刻分，累损益气初日衰，每日消长常同，至交一气，则顿易刻衰。故黄道有觚而不圜，纵有强为数以步之者，亦非乘理用算，而多形数相诡。大凡物有定形，形有真数。方圜端斜，定形也；乘除相荡，无所附益，泯然冥会者，真数也。其术可以心得，不可以言喻。黄道环天正圜，圜之为体，循之则其妥至均，不均不能中规衡；绝之则有舒有数，无舒数则不能成妥。以圜法相荡而得衰，则衰无不均；以妥法相荡而得差，则差有疏数。相因以求从，相消以求负，从、负相入，会一术以御日行。以言其变，则秒刻之间，消长未尝同；以言其齐，则止用一衰，循环无端，终始如贯，不能议其隙。此圜法之微，古之言算者，有所未知也。以日衰生日积，反生日衰，终始相求，迭为宾主，顺循之以索日变，衡别之求去极之度，合散无迹，泯如运规。非深知造算之理者，不能与其微也。其详具予奏议，藏在史官，及予所著《熙宁晷漏》四第之中。
予编校昭文书时，预详定浑天仪。官长问予：“二十八宿，多者三十三度，少者止一度，如此不均，何也？”予对曰：“天事本无度，推历者无以寓其数，乃以日所行分天为三百六十五度有奇。既分之，必有物记之，然后可窥而数，于是以当度之星记之。循黄道，日之所行一期，当者止二十八宿而已。今所谓‘距度星’者是也。非不欲均也，黄道所由当度之星，止有此而已。”