回到我们的问题，结论是肯定的，当n＝1时有2个小球，最多分两堆。每堆一个小球，那么一次“移动”就并为了一堆。假定有2K个小球分成若干堆，经过有限次“移动”能并为一堆。那么把2K＋1个小球分成若干堆时，情形又如何呢？因为2K＋1是偶数，所以小球个数是奇数的堆有偶数个，把他们两两匹配，每两堆间“移动”一次，这样各堆小球的数目就都是偶数了，设想每堆中都把两个小球贴在一起，移动也好不移动也好都当一个小球看待，那么总数不就是2n个了吗！总起来说就是，只要2K个小球可并为一堆，那么2K＋1个小球就能并为一堆。这样就从21个结论成立，推到22个结论成立，再推到23个结论成立，当然对任意自然数n，结论都是成立的。
28“对称”意识
几何学中的对称指两点关于它们连线的中垂线成轴对称，关于它们的中点成中心对称。
具有这种“对称”意识，在某些游戏中，大有用武之地，先举一例游戏。
两人在方桌上摆扑克牌，摆法是轮流摆放，一次一张，但每两张不许重叠，谁最后无位置可摆，谁就输了。若你先摆，你能赢吗？
仔细分析而知，你先摆一个位置后无论对手怎样摆放，你都必有空位摆牌，这就形成了对应，再联想“对称”就会使你获胜。
当然，你摆放的第一个位置应该是很关键的，应是摆放位置中的唯一特殊性位置。
综上论述你会立刻确定稳赢的摆法，先把一张牌放到方桌中心，这样，你对手每摆一张牌则你一定可找到这张牌的对称位置摆放，直到对手再无法找到空位为止。
再举一例：
两人做翻牌游戏，先把圆牌的两面分别画上“＋”“-”两种符号，然后摆成一排，且“＋”号在上面。翻牌方法是每人一次，一次翻一张或两张，翻过一次的牌就不许再翻了，这样，谁最后无牌可翻谁就输了。如果让你先翻，你会赢吗？
有前一个游戏的经验，解开这个问题并不难。看来需要找到“对称中心”，这就首先需要数一下这些圆牌的个数，若为奇数，你就可先翻中间一个；若为偶数，你就可先翻中间两个，然后无论对手一次翻几个，你就翻对称位置的几个，直到获胜。
最后举一例，看你是否有了“对称意识”
两人把一个棋子，从左到右移动，使它经过一排方格中的每一个格，这排方格的总数是1990，谁把棋子移动到最后一格，谁就获胜。两人轮流，一次移动1至3格，如果你先走。你会赢吗？若再模仿前两个游戏，就会因找不到对称中心而困惑。但如果你有“对称意识”，就会立刻想到在四个格子里，对手先走，你必能获胜。这样，你走第一次时只要使剩余的格数是4的倍数就行了，对手走1格，你走3格；对手走2格，你走2格；对手走3格，你走1格，一直到你把棋子移到最后一格里。
为此，你的第一步只要把棋子移到左边的第二个格子里，(1990÷4＝497×4＋2)就稳操胜券了。
29计算“断电”的时间
为什么用两支蜡烛能够计算出“断电”的时间
小聪每天晚上都温习功课，他正在聚精会神地解方程，忽然房间里的电灯熄灭了：保险丝烧断了，他马上点燃了书桌上备用的两支蜡烛，继续解方程，直到电灯修复。
忽然，小聪脑袋闪出一个念头：我是否可以根据两支蜡烛的燃烧程度断定断电的时间。
他回想和观察了一下条件：
1虽不知道蜡烛的原始长度但他记得两支蜡烛是一样长短。
2粗的一支能用5小时，细的一支能用4小时。
3残烛的长度一支等于另一支的4倍。
他得意起来：这不正是一道解方程的习题吗。不到一刻钟，他的练习本上就得出了“断电”时间：3小时45分钟。
你知道他是怎样解决这个问题的吗？
只需要列一个简单的方程式。用x表示点蜡烛的小时数，每一小时燃粗蜡烛长度的15、细蜡烛长度的14。因此，粗蜡烛残余部分的长度应是1-x5，细蜡烛残余部分应是1-x4。我们知道两烛长度相等并知细烛余部的4倍即4(1-x4)等于粗烛残余长度1-x5。
即有4(1-x4)＝1-x5
解方程得x＝334所以，两烛点燃了3小时45分钟，亦是断电时间。
30从“猴子分桃子”谈起
海滩上有一堆桃子，这是五个猴子的财产，它们要平均分配。第一个猴子来到海滩，它左等右等，未等来别的猴子，便把桃子平均分成五堆，还剩一个，它就把剩下的一个扔到海里，自己拿起了5堆中的一堆。第二个猴子来了，它把剩下的桃子分成五堆，把剩下的一个又扔掉了，然后拿起一堆。以后每个猴子来了都是如此办理，问原来至少有多少个桃子？最后海滩上至少剩下多少桃子？这就是着名的猴子分桃子问题。着名的英国物理学家狄拉克曾提出了一种解法，相当巧妙地解决了这个问题。
设原来桃子N个，而五个猴子分得的桃子数分别为A１，A２……A5，则得到
N=5A1＋1
4A1=5A2＋1
4A2=5A3＋1
4A3=5A1＋1
4A4=5A5＋1
经过一系列的代换，就可以得到N=3121，4A5=1020
其实这个答案是受到问题中“至少”这一前提限制而得到的，如果不考虑“至少”这个条件，符合前面关系式的答案是很多的。例如N=6246，4A5=2044；N=15621，4A5=5116等等。
但是使人感兴趣的不在于所得答案的多少，而是在于这类问题是怎样解出的，原来“猴子分桃子”就是这样的一个数学问题，若A0=N，A1=15(N-1)，5An＋1=4An-1
求An
解：由5An＋1=4An-1，5An=4An-1-1
两式相减得：5(An＋1-An)=4(An-An-1)
令Bn=An＋1-An则有：Bn=45Bn-1
因此：
An=(An-An-1)+(An-1-An-2)+……+(A2-A1)+A1=Bn-1+Bn-2+……+B1+A1=1-(45)n-11-45B1+A1=5B1［1-(45)n-1］+A1
又由于A1=15(N-1)
A2=15［45(N-1)-1］
则B1=A2-A1=-125(N+4)
于是：An=-15(N+4)［1-(45)n-1］+15(N-1)=-1+4n-15n(N+4)
特别是当n=5时，有55(A5+1)=4４(N+4)。由于5与4互质，则N+4必为55的整数倍，即N+4=5５·P(PZ)，同时A５+1=4４·P令P=1即可求出前面的结果。
从上面的解法，我们看到，如果给定了必须的数列｛an｝的前几项，再由给定的关于数列若干连续的关系式，就可以由关系式推出一个新数列。因此，我们把这种关系式叫数列的逆推公式，由逆推公式得到的这种数列叫作逆归数列。逆归数列由于逆推公式的不同，因此求它的通项的方法也比较复杂。“猴子分桃子问题”在研究逆归数列上确实起到了开路先锋的作用。
31为什么乌鸦不一定喝到水
还在上小学的时候，大概我们就知道了聪明的乌鸦投石喝水的故事。那时候，无不为乌鸦的办法叫好，没有人去考虑乌鸦是否真正能喝到水的问题？现在，我们从几何学体积计算的角度，倒真要研究研究这个问题了，乌鸦一定能喝到水吗？
不难想象，当乌鸦把各种各样形状的小石子扔到瓶里时，石子之间是不可能没有空隙的。如果石子间的空隙较大，而且原来瓶子里的水又比较少，那么即使把瓶里扔进了很多石子(当然是有限的)，水面也不一定升到瓶口。只有当瓶里原有水的体积比所丢入的石子间全部空隙更大的时候，水才能充满石子间的空隙，升到石面上来，这样乌鸦才能喝到水。
那么瓶子到底应当有多少水，乌鸦才可能喝到水呢？
当然，这一个问题与石子的形状及其排列方法是有关的。为了简单起见，不妨我们假设乌鸦投进的石子都是大小一样的球体，那么很容易算出空隙部分的体积与瓶子体积的比大致是：
d3-πd36d3=48%
这就表示，按着上面的条件，当瓶子里放满球形石子时，瓶里所有空隙的总和，等于瓶的容积的一半稍小一些。假如乌鸦聪明得很，能使各个石子彼此间挨得更紧密，那么至少空隙也得大于瓶子体积的13(计算麻烦一些)。由此看来，我们可以得出这样的一个结果，瓶子里原来的水至少也要占瓶高的三分之一，乌鸦才能喝到水。
我们这样的计算当然也是实在为难乌鸦了，但是，从中不能不使我们在考虑这样一个问题，在日常实际中，应当充分利用空间，减少浪费，将使我们获得更高的效益。
32怎样才能使线路最短
对于平面上三个点之间的线路最短问题解决以后，人们自然想到，平面上四个点及多于四个点之间的最短线路问题：即对于任意几个点之间的最短线路问题。数学家把它归纳为三个方面的问题：
1不增加附加点，如何求得最短线路F1？
2允许增加若干附加点，如何求得最短线路F2？加多少个点最好？加在何处？
3F2比F1最多能缩短多少？
第1个问题已经圆满解决了。与第1个问题相比较，第2、3个问题有着本质的困难。美国贝尔实验室的亨利·波莱克博士和爱德加·吉尔伯特博士就第3个问题提出猜想：通过附加点得到的最短路线，最多只能比原来的缩短13。4％。他们的猜想在1989年由中国科学院应用数学研究所研究员堵丁柱同美国贝尔实验室的黄光明博士合作成功的给予了证明，从而从理论上彻底解决了第3个问题。这一成果受到国际数学界的广泛关注，并被誉为该领域1989～1990年的两项重大成果之一。
第2个问题至今还没有得到解决。如果这个问题解决了，最短路线问题就彻底解决了。那时，最短路线问题将给现代社会的电子、通讯、交通和能源等领域带来巨大的变化。超大规模的集成电路使得人们在1cm2的硅片上集成数以10万计的元器件，如果能解决好元器件之间的最短连接线的问题，则不仅能简化制造工艺，节约原料。而且能大大提高集成块的运算速度。随着电话的普及，上亿部电话之间的电话线的联网，也是十分复杂的最短路线问题。这个问题解决得好，既可少建很多交换台，又可节约大量的电话线，石油输油管道的分布、高速公路网的修建和民航航线的开辟等等，都亟待解决最短路线问题。我们期待着这一问题的早日解决，更希望将来在同学们中能出现解决这一问题的人。
33坏狐狸和三角形
鸟妈妈孵出了四只小鸡，她又高兴又担心。高兴的是四只鸡宝宝个个欢蹦乱跳，真是惹人喜爱；担心的是坏狐狸会来偷吃鸡宝宝。
为了防备坏狐狸来偷吃鸡宝宝，鸡妈妈找来许多木板和木棍搭了一间平顶小木房。鸡妈妈想，有了房子就不怕坏狐狸来了。
深夜，田野静悄悄的。月光下，一条黑影飞快地跑近了小木房。
“砰！砰！”一阵敲门声把鸡妈妈惊醒。“谁？”鸡妈妈问。
“是我，是老公鸡，快开门吧。”一种十分难听的声音在回答。
鸡妈妈想，不对呀！老公鸡出远门了，需要好多天才能回答呢。另外，这难听的声音根本不是老公鸡的声音。鸡妈妈大声说：“你不是老公鸡，你是坏狐狸，快走开！”
坏狐狸一看骗不成，就露出了狰狞的面目。他厉声喝道：“快把小鸡崽给我交出来！不然的话，我要推倒你的房子，把你们统统吃掉！”
鸡妈妈心里虽然害怕，嘴里却说：“不给，不给，就是不给！我的鸡宝宝不能给你吃。”
坏狐狸大怒，使劲地摇晃平顶木房子，吓得四只小鸡躲在鸡妈妈的翅膀下发抖。摇了一会儿，房架倾斜了。房顶和墙之间露出个大缝子，一只大狐狸爪子伸了进来，抓起一只鸡宝宝就跑了。
天亮了，小鸟飞来飞去在寻找食物。一阵哭声，惊动了他们。
小黄雀问：“鸡妈妈，你哭什么呀？”
鸡妈妈一边哭一边说：“我修了一个平顶木房，防备坏狐狸来偷吃鸡宝宝。谁知平顶木房不结实，让坏狐狸三推两推给推歪了。坏狐狸抢起了一只鸡宝宝，呜……”
啄木鸟说：“小喜鹊顶会盖房子，还是请他来帮你盖一座结实的房子吧！”
不一会儿，啄木鸟把喜鹊请来了。喜鹊说：“我只会搭窝，哪里会盖房子呀！”
“那怎么办？”大家犯愁了。
喜鹊说：“有一次我在大树上，听见树下几个建筑工人说，三角形的房顶最结实。”
啄木鸟着急地说：“谁见过三角形是什么样子啊？”
喜鹊衔来三根树枝，摆了一个三角形。
大家说：“就按这个样子来盖吧。”
小鸟们有的衔树枝，有的衔泥，啄木鸟在木头上啄出小洞，喜鹊用细枝条把木头都绑起来。在太阳快落山的时候，一座三角形房顶的新房子盖好了。
晚上，坏狐狸又来了。这次，他二话没说，扶着木房子就拼命摇动起来。怪呀，今天晚上这个木房子怎么摇不动了呢？坏狐狸鼓足了劲再摇，还是丝毫不动。
天快亮了，坏狐狸狠狠地说：“现在就算饶了你们，明天我还要来，只要你们敢出来，我就吃掉你们！”
清晨，小鸟又看见鸡妈妈在守着木房子发愁。
小山鹰问：“鸡妈妈，你的木房子不是好好的嘛，你还愁什么？”
鸡妈妈说：“三角形的屋顶是比较牢靠，可是我们不能总呆在房子里面呀！坏狐狸说我们一出来，他就要来抓鸡宝宝。”
百灵鸟说：“我有个好主意，咱们帮鸡妈妈在房子外面围一圈木栅栏，再装一个木栅栏门进出，这不就可以防备坏狐狸了吗！”
大家都说这个主意好，于是一起动手筑了一道木栅栏。他们还把上头削尖了，防止坏狐狸跳进来。最后装上一个长方形的木栅栏门。
傍晚，坏狐狸真的又来了。他看见鸡宝宝在栅栏里又蹦又跳，馋得口水直流。坏狐狸围着木栅栏转了两圈，发现还是搞毁栅栏门最容易。他两只爪子扣着木栅栏门使劲地摇。结果，长方形的门变成了平行四边形，露出了一个豁口。坏狐狸“噌”地一下跳了进去。要不是鸡妈妈领鸡宝宝赶快跑进了房子里，恐怕就要遭殃了。
坏狐狸走了。小喜鹊飞来说：“长方形的门容易变形，给它斜钉上一块木板，变成两个三角形就牢固多了。”
百灵鸟说：“咱们不能总是防备坏狐狸，咱们要这样……这样办。”大家听了非常高兴，又忙了一阵子才离开。
坏狐狸没吃着鸡宝宝是不甘心的，他又悄悄地来了。他直奔木栅栏门，把门使劲摇晃。咦，这次怎么摇不动了呢？狐狸使足了劲一摇，只听“扑通”一声掉进了陷阱里。陷阱底全是三角形的禾尖钉，狡猾的狐狸丧了命。
鸡妈妈高兴地说：“三角形用处可真大呀！”
34火柴游戏
一个最普通的火柴游戏就是两人一起玩，先置若干支火柴于桌上，两人轮流取，每次所取的数目可先作一些限制，规定取走最后一根火柴者获胜。
规则一：若限制每次所取的火柴数目最少一根，最多三根，则如何玩才可致胜？
例如：桌面上有n=15根火柴，甲、乙两人轮流取，甲先取，则甲应如何取才能致胜？