留下2，把2后面所有2的倍数都划去，凡是2的倍数都是偶数，也就是把2后面的所有偶数划去；
①，2，3，，5，，7，，9，10，11，12，13，14……
留下3，把3后面所有3的倍数都划去；
①，2，3，4，5，，7，8，10，11，12，13，14，15，16……
留下5，把5后面的所有5的倍数都划去，也就是把5后面所有个位是0和5的数都划去；
①，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16……
留下7，把7后面所有7的倍数都划去；
如此继续做下去，一直筛到100以内的合数全部划尽。
下面的表就是筛去了全部合数后，得到的100以内的质数。
①23456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100
100以内的质数有：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97等，共25个。
46铁栅栏门推拉起来轻松
有一种用铁条做成的门，开和关都很方便。轻轻一推，铁栅栏门就像松紧带似地挤拢在一起，变得很窄，轻轻地一拉，铁栅栏门又像网子似地伸开，变得很宽。你仔细地进行观察，如果除了发现门的顶部和底部都装有滑轮，可以使大门的关启变得格外轻松之外，还发现使铁门能宽能窄，能拢能伸，能轻松关启的根本原因是在于铁门的构造的话，那就找到了解答这个问题的关键。
原来铁门是由一个个的菱形(即四条边相等的平行四边形)组成。四条边长一定的四边形，它的形状并不固定，四边形的这种性质，叫做四边形的不稳定性，我们在学习四边形的时候，对它的这个性质一定已经有所认识。
聪明的工人叔叔，正是利用这种性质，制成了能够推拢和拉开的铁大门。
把这种性质合理地应用，不只是制作成关启起来非常轻松的铁栅栏门。
你们也许见过，有一种装货的大卡车，在它的身后还挂着一节装货的车箱，连接卡车与车箱的往往是菱形结构的链子；一种盛东西的网兜，用塑料绳或线绳编织而成，不用的时候，收拢在一起，伸开可以装不少东西；有一种可以合拢和伸开的自行车筐，不用的时候，合拢在一起成一个很扁的长方体，不占地方，要用的时候，打开成为一个能装东西的车筐，极大地方便人们的生活。
只要我们留意观察，还一定会发现许多利用“四边形不稳定”的这一性质，合理地为工农业生产和人们日常生活服务的事例。
47谁更聪明
传说有这样一个故事：
有一个土耳其商人，想找一名助手。有两个人前来“应征”，商人想测验一下两个人谁聪明。
商人将他们两人带进了一间屋子，这间屋子里既没有镜子，也没有窗户。商人将照明用的灯点着，然后将一个装着帽子的盒子放到两个人的面前，打开盒盖说：“这里面有五顶帽子，两顶是红色的，三顶是黑色的。现在我把灯灭掉。”随即便熄了灯，屋子里黑得什么也看不见了。商人接着说：“现在我们三个人每人从盒子里摸出一顶帽子戴在自己的头上。”三个人在黑暗中摸到帽子戴在头上后，商人把装帽子的盒子重又盖上盖，再将灯重新又点着，并说：“你们要尽快地说出自己头上戴的帽子是什么颜色。”
当灯亮了以后，两人都看到商人头上戴的是一顶红色的帽子，而另一个人的头上戴的是黑色的帽子，自己的头上戴的该是什么颜色的帽子呢？黑的？还是红的？
只过了一会儿，其中一个人兴奋而自信地说：“我戴的是黑帽子！”这个人果然猜对了，商人录用了他。
他为什么能很快地又十分肯定地说出自己头上所戴帽子的颜色呢？
他是这样想的：一共只有两顶红色的帽子，商人头上已经戴了一顶红色的，如果我头上戴的也是红色的，对方就可以毫不犹豫地立刻判断出自己戴的是黑色的帽子。可是，对方在灯亮了以后的短暂时间里没有立即说出，就这一点，便可以肯定我头上戴的不是红色的帽子。正因为我戴的是黑色的帽子，才使他与我有同样的考虑，同样的犹豫。我就是在灯亮了以后，对方正在犹豫的瞬间作出了这样的判断。
这样的分析和判断是令人信服的。你也能像聪明人那样去思考问题吗？
48为什么九条路不可能不相交
在世界各地，广泛地流传着一道数学名题，尽管说法有不同，但实质上是同一个问题：某地有三个村庄和三所学校，从每个村庄到三所学校各修一条路，能不能使这九条路互不相交呢？您可能以为，只要不怕费事绕绕弯子，这事是不能办到的。可事实并非如此，上述想法是不能实现的，这里有着奥妙的数学原理。
19世纪，瑞士大数学家欧拉，在研究多面体的顶点数、棱数和面数的关系时，发现了一个规律，如立方体有8个顶点、12条棱、6个面、具有关系8-12＋6＝2。其它多面体也是这样，即一个多面体若有n个顶点、m条棱、p个平面，则一定有n-m＋p＝2，这就是着名的欧拉公式。
有了欧拉公式，前面的问题就可迎刃而解了。把问题看成是立体图形，每个村庄或学校就相当一个顶点，一条路就相当一条棱，用路围起来的部分就相当于一个面。因为有九条棱、六个顶点，那么有6-9＋p＝2，即p＝5，就是说应该有5个面；而从另一个角度考虑，从一个村庄出发，走一条路就到达一所学校，再走一条路就到达另一个村庄，再走一段路就到达另一所学校，再走一段路才能回到原地。所以围成一个至少要四段路即四条边，现有9条棱，若数面的边当然是18条边，至少四条边围一个面，当然围不成5个面。也就是说九条路的设想是不能实现的。读者们不妨想一下，若只修八条路能否实现？
对这类问题的研究，已经形成了数学领域的一个分支——拓扑学。它对工程设计，机器元件的设计，集成电路设计，电子计算机的程控、各种信息网络系统的建立，都有广泛的应用。
49为什么球面不能展成平面图形
我们知道：圆柱、圆锥、圆台的侧面面积，可以利用它们在平面内的展开图来求出。由于球面不能展成平面图形，所以球的表面积公式无法用此法求出。
为什么球面不能展成平面图形呢？我们作如下说明。
圆柱、圆锥、圆台的侧面可以看成由一条直线(或线段)运动生成，球面是不能通过直线运动生成的。换言之，圆柱、圆锥、圆台的侧面存在直线，而在球面上没有一条直线存在。所以球面不能展成平面图形。我们把能够展成平面图形的曲面称为直纹面，圆柱、圆锥、圆台的侧面都是直纹面。
若在平面上随意剪下一块，例如矩形或扇形，就可以即不叠皱，也不撕破地吻合在圆柱或圆锥的侧面上。而在平面上无论你剪下什么样的形状的一块，都无法既不叠皱也不撕破地贴在球面上。事实上，如果我们在剪下的矩形、扇形或某一形状上，过任意一点，沿任意方向作相交于该点的直线段a、b、c……将这些画有线段a、b、c……的矩形、扇形贴在圆柱、圆锥侧面上，a、b、c……的长度均不变。而将画有线段a、b、c……的某形状往球面上贴，或者贴不上去，或者“贴”上去了，则某些方向上的线段c或d……长度就变了。因为只有使某些线段重合一部分，或拉长，或撕断才能贴在球的表面上去。两个曲面(平面是曲面的特殊情况)可以互相贴合的充要条件是这两个曲面等距。所谓等距是指两曲面间建立了一一对应关系，且对应曲线长度相等。平面与球面是建立不了等距关系的，所以球面不能展成平面图形。
50默比乌斯带的奥秘
默比乌斯带是拓扑学家们的杰作之一。它使人感到古怪的是：只有一侧的曲面。
它的制做是极为简单的。我们把一个双侧环带随意在一处剪开，然后，扭转一半，即180°。再粘合到一起来形成封闭的环，就得到了默比乌斯带。
但如果描述为没有“另一侧”，这是很难理解和想象的。但做起来却很容易，你可随意从一处开始涂色(不离开这面)最终你将会发现默比乌斯带都被你涂上了颜色，也就说明这的确是一个单侧面的带子。
默比乌斯带具有各种意想不到的性质，有人称之为“魔术般的变化”。如果我们把默比乌斯带沿中线剪开，出乎意料地得到了一条双侧带子而不是两条。数学家对这种奇妙的现象解释为：一条默比乌斯带只有一条边，剪开却使它增加了第二条边与另一侧。如果把默比乌斯带沿三等分线剪开将使你又获新奇之感。剪刀将环绕纸带子走整整两圈，但只是一次连续的剪开，剪的结果是两条卷绕在一起的纸条，其中的一条是双侧纸圈，另一条则是新的默比乌斯带。你看，这真是一个奇妙的带子。
51你能找到海盗藏宝的地点吗
传说有一帮海盗，把劫得的财宝埋在一个荒岛上，并在一张纸上写了若干诗句暗示藏宝地点，这样以便于把宝物遗留给他们的后代。几十年后，海盗们被捕获，在被击毙的头目身上发现了这张纸条，上面写到：何处找？在海岛；绞架直行到石马，右转同长是甲处；绞架直行到大树，左转同长是乙处；甲乙中分地，深挖勿泄气。不难看出这是一个埋藏重要物品的地点的说明，官方立即派人到岛上搜索，然而一到岛上，人们不免犯了难，大树、石马依然还在，而绞架荡然无存，这藏宝地点怎样确定呢？
后来终于有人用平面几何作图的方法，证明了藏宝地点仅与石马和大树的位置有关，而与绞架位置有关，于是轻而易举地找到了藏宝地点。下面我们来看一下这个问题的证明。
设石马为点A，大树为点B，在AB连线的一侧任取一点C算作绞架位置。连结CA，作DACA且DA＝AC；再连BC，作EBCB且EBCB且；连DE，其中点F假定为藏宝地点，如图作CC’、DD’、EE’、FF’都和AB垂直，C’D’E’F’分点为垂足，由ACC’DAD’，可知AD’＝CC’，又由BCC’EBF’，可知BE’＝CC’，又由F是DE中点，可知F’是D’E’中点。所以知F’是AB中点；另一方面我们又可证明，DD’＝AC’，EE’＝BC’，DD’＋EE’＝AB。由梯形中位线定理可知FF’＝12(DD’＋EE’)＝12AB，那么F是位于AB中垂线上且与A中点的距离等于AB长的一半，可见F点的位置与C点的选择是无关的。
读者不妨试一下，在AB的另一侧取点C。甚至在直线AB上取点C，看看点F的位置是否是不变的。
52最巨大的数学专着
公元前4世纪，古希腊数学家欧几里得写过一部《几何原本》，共有13卷，它成为不朽的经典着作流传至今。1939年，书架上突然出现了《数学原本》（第一卷）。好大的口气！作者是谁？署名是从未听说过的布尔巴基。这部书从那时起，到1973年，已出到第35卷，至今还没有写完。它是目前最巨大的数学专着。
布尔巴基是一个集体的笔名。本世纪20年代末，法国巴黎大学有几名大学生，立志要把迄今为止的全部数学，用最新的观点，重新加以整理。这几个初出茅庐的青年人，准备用3年的时间，写出一部《数学原本》，建立起自己的体系。这当然是过高的奢望，结果他们写了40年，至今还没有完成，但是布尔巴基学派却在这一过程中形成了。他们在数学界独树一帜，把全部数学看作按不同结构进行演绎的体系，因而以结构主义的思想蜚声国际，赢得了数学界的赞扬。布尔巴基学派甚至已经影响到中学教科书，我国近几年翻译的英、美、日本中学教材里，都有它的影子。
布尔巴基学派最初的成员有狄多涅和威尔等人，他们开始写《数学原本》时只是20来岁的青年，现在已经70开外，成为国际着名的数学教授了。
《数学原本》是一部有崭新体系的数学专着，而并非东拼西凑的数学百科全书，它以吸收最新数学成果并加以剖析而受到重视。近几年，《数学原本》的前几卷已重新修订，每卷又补充了近三分之一的新材料。这部巨着是用法文写的，现在已有英、俄、日等国文字的译本。翻译《数学原本》是一个巨大的工程，翻译成日文时，还曾专门成立了一个委员会。
53最繁琐的几何作图题
早在古代，就有人能用直尺和圆规作出正三角形、正方形和正五边形了。可是，利用尺规来作正七边形或正十一边形或正十三边形的任何尝试，却都是以失败而告终。
这种局面持续了二千多年，数学家们猜想，凡是边数为素数的正多边形（如正七、正十一、正十三边形等）看来用圆规和直尺是作不出来的。但是在1796年，完全出乎数学界的意料之外，19岁的德国青年数学家高斯找到了用圆规和直尺来作边数为素数的正十七边形的方法。这个成就是如此辉煌，不仅使数学界为之轰动，而且也促使高斯把数学选为自己的终身职业。
五年以后，高斯又进一步宣布了能否作任意正多边形的判据。他证明了下面的定理：凡是边数为“费尔马素数”（即边数是2+1形状的数，而且还要是素数）的正多边形，就一定可以用尺规来作图。当n=2时，就是正十七边形；当n＝3时，就是正二百五十七边形；当n＝4时，就是正六万五千五百三十七边形……他还证明了，如果边数是素数，但不是费尔马素数的话（例如上面所提到过的正七边形，正十一边形等），那末这样的正多边形就不能用圆规和直尺来作出。
紧接在17以后的两个“费尔马素数”是257和65537。后来，数学家黎西罗果然给出了正二百五十七边形的完善作法，写满了整整80页纸。
另一位数学家盖尔美斯按照高斯的方法，得出了正六万五千五百三十七边形的尺规作图方法，他的手稿装满了整整一只手提皮箱，至今还保存在德国的着名学府哥庭根大学里。这道几何作图题的证明，可说是最为繁琐的了。
54最精确的圆周率
圆周长与直径的比，称为圆周率，符号π，我国古代很早就得出了比较精确的圆周率。我国古籍《隋书·律历志》记载，南北朝的科学家祖冲之推算圆周率π的真值在31415926与31415927之间，他所得到的π的近似分数是密率355／113。德国人奥托在1573年才重新得出祖冲之密率355／113，落后了11个世纪。英国数学家向克斯穷毕生精力，把圆周率算到小数点以后707位，曾被传为佳话，但是他在第528位上产生了一个错误，因此后面的100多位数字是不正确的。