设BG′与B′G交于点T，因为B′T∥BY，所以BT∥B′Y。进而得BT=YB′，又YB′=YB，所以BT=BY。因B、B′是XY的对称点，所以BB′⊥XY，也就是TY⊥BB′。这样，BB′与等腰三角形△BYT的顶角B的高线重合，即BB′是∠TBY的平分线。
折纸时，折起的部分与重合于它的那部分是对称图形，对称轴是折痕，使折纸中出现了许多相等的量。折纸相当于几何中构作对称图形，用对称的性质分析和处理问题是折纸的自身特点。
在正方形内折出内接正三角形
内接三角形是指其顶点在已知正方形边上的三角形。随意作一个内接三角形是十分容易的，但是作内接正三角形就不很容易。
假设正方形的一个顶点A是要作的内接正三角形的一个顶点，那么另两个顶点一定是分别在正方形的BC边和CD边上，分别设这两点为P和Q，因为AP=AQ，而AB=AD，∠B=∠D，所以，∠BAP=∠DAQ=（90°-60°）÷2=15°。
在已知正方形的顶角内，只要折出30°角就能通过折角分线得到15°角，而在90°角内折出30°角实际上是把90°角三等分，依前面给出的方法，这是可以办到的，其实对90°这样的特殊角，还有更简单的折纸三等分方法。下面是正方形内接正三角形的折纸方法。
①对折正方形ABCD，使A、B重合，得折痕EF；
②固定点A，折起AB，使点B落在EF上，记这一点为G，得折痕AH（如图4）；
③折出直线AG，再分别折起AB和AD，使AB与AH重合，得折痕AP，使AD与AG重合，得折痕AQ，折出直线PQ。
折痕△APQ是正三角形，而且是正方形ABCD的最大的内接正三角形。
在以上作法中，∠GAB=60°，这是因为EF是AB的垂直平分线，AG=AB，于是BG是AG关于EF的对称线段，△ABG是正三角形，∠GAB=60°。
折出黄金分割点
在一条线段上有这样一点，它分已知线段为两部分，长的一部分是短的一部分与原线段的比例中项。这样的点叫做黄金分割点。即若设线段为AB，其长度是1，点C在AB上。AC=x，且1x=x1-x，x=5-12，则C点就是黄金分割点。
求作黄金分割点的折纸法是很简单的。
①通过折纸，先将正方形ABCD的B与C重合，找到BC的中点E，折出直线AE；
②折起EB，使B点落在AE上点K处，EB与AE重合。EF是折痕，F在AB上；
③折起AB，使点B落在AE上点B′处，AB与AE重合，折痕是AH，重合于AE上点K的AB上的点记作K′。
这样一来，K′是线段AB上的黄金分割点，不仅ABAK′=AK′BK′，而且还有BEBF=BFBE-BF。
设∠BEF=θ，则∠AEB=2θ
∴tg2θ=2=2tgθ1-tg2θ
令tgθ=x，得方程
2=2x1-x2
即x2+x-1=0
得BFBE=5-12
抄近道的几何学
人们无论做什么事情，都喜欢寻找快捷方式，以最短的时间完成想做的事情，以达到事半功倍的效果。
一般来说，走路也是一样，人们总是愿意走胡同，把这样叫做“抄近道”，因为抄近道要近一些。为什么抄近道就会近一些呢？这就是一个几何学原理。
下面我们来做一个小实验帮助你理解这个问题。你找出三个纽扣，把两个纽扣在桌上放好，用一根把其中的两个穿起来。注意线不要拉直，把第三个纽扣放在桌面上，不要让三个纽扣在一条直线上，你还用那根线把三个纽扣连起来，你会发现线不够长，这说明两个点之间以直线的距离最短，这是几何学中一个古老而又著名的定理。其实，生活中到处都有几何学的影子，你注意到了吗？
弧形滑梯与最速降线
有两条滑梯：一条的滑道是斜线；另一条的滑道是弧线。如果有甲乙两个体重相等的小孩同时从滑梯顶部O点往下滑，甲沿着斜线下滑，乙沿着弧线滑道下滑，那么哪个小孩先滑到底部A点呢？
一般人认为，甲滑过的路程是直线，路程最短，所以甲孩先到达A点。这样分析是错误的。因为谁能最先到达底部，不但与路程长短有关，还与滑行的速度有关。
甲沿着斜线OA下滑，是做匀加速运动，速度从0开始，缓慢而均匀地增大；乙沿弧线下滑速度也是从0开始，但刚开始就是一段陡坡，速度迅速增大，使得乙的滑行速度比甲快，虽然比甲多走了一些路，但究竟谁先到终点就难说了。科学家研究后发现，只要将弧形滑梯设计成摆线形，就可以成为滑得最快的滑梯。
这个寻找“最速降线”的问题，最初是由瑞士数学家约翰·贝努利提出的。后来经他和牛顿、莱布尼兹、雅各布、贝努利等人的努力，发现侧着倒放的摆线弧下滑，比任何曲线都快。这一问题的解决，为后来发展成一门非常有用的数学新分支——变分法奠定了基础。
球形结构之谜
当你乘着轮船，沿着黄浦江航行，眺望两岸时，就一定能见到许多盛有各种液体的贮油桶，它们高的有几十米，矮的也有近十米，大小虽不一样，但看上去都显得十分“匀称”，既不“胖”，也不“瘦”。像这样底面直径和高恰好相等的圆柱体叫做等边圆柱。
贮液桶一般常做成等边圆柱。那么，它们为什么不做成“胖”的或者“瘦”的，而要做成胖瘦适中，看上去很匀称的等边圆柱呢？这不仅是为了外形的美观，更主要是为了节约造桶的材料。用数学语言来表达就是：在圆柱的容积V保持一定数值的情况下，圆柱体取什么样的形状，它的全面积达到最小。我们已经通过计算证明等边圆柱的全面积最小。
但我们应该注意，上面的结论只对有盖的圆柱适用。如果无盖的圆柱，做成等边圆柱就不是取省料的了，而是应制成它的直径等于高的二倍的圆柱，它的形状看上去比较扁胖。
螺形外貌之谜
螺丝帽有好几种形状，最常见的是正六角形，有时也可看到正四边形、正八角形等。螺丝帽为什么不做成圆形呢？因为机器开动时总会发生松动。因此，螺帽装到机器上去时，必须用“扳手”紧紧地拧住它。否则，由于机器的振动，螺帽就有可能自己松动而脱落下来，机器就会损坏，甚至造成严重的事故。螺帽做成圆形，虽然可以节省材料，制造也比较方便，但圆的螺帽用扳手不好拧，因而螺帽一般不做成圆形。
那么，又为什么螺帽绝大多数是正四角形、正六角形、正八角形（边数是偶数），而不做成正三角形、正五角形、正七角形（边数是奇数）呢？原来，工人师傅拧螺帽时常用的工具活络扳手“张口”上的“嘴唇”是平行的。当螺帽的边数是偶数时，它的对边平行，可以用活络扳手“咬”住，而把它按紧；而当边数是奇数时，由于没有两边平行的，用活络扳手就无法拧紧。所以，一般不做奇数边正多边形的螺帽。
现在我们再来分析一下为什么大多数螺帽都做成六角形，而只有极少数做成四角形或其他形状。原因就在于用同样半径的圆、六角螺帽和四角螺帽，前者留下的面积大，切掉少，能充分利用材料。
跑道的弯与直
你知道为什么田径场的跑道要设计成两头是半圆形的，而中间的两边却是直的呢？
如果跑道全部是直的运动员赛跑时可以不必侧着身子急速地转弯，这当然很好。可是运动项目中有几千米甚至几万米的长跑，如果要在田径场上进行这种比赛，而跑道又全部是直的话，那么这个田径场将要有多大呀！所以跑道全部是直的是不可能的。
那么，跑道设计成圆形，使长跑绕着圈子进行，行不行呢？圆形跑道的好处是可以大大减少占地面积。但这样一来，运动员在奔跑时要时刻改变奔跑的方向，始终处于侧着身体的状态，不能充分发挥赛跑水平，而且百米赛跑也只能在弯道上进行，这当然不行。再说，如果圆形跑道一圈是400米，那么它的直径约为127米。
对于这样的尺寸，要在田径场内同时举行标枪、铁饼、手榴弹等项目的比赛，就显得不够大了，而且举行足球赛时宽度够了，长度却不够。造成长方形行呢？更不行，因为在转角处，运动员要在急跑的情况下突然改变运动方向，向左转90°，这好比快车急转弯，十分危险。运动员要想不摔倒，比较理想的田径场跑道应该是两头圆的中间直的。
三角尺的造型
三角尺，我们不仅常常看到，而且常常用到。它是画图的主要工具之一。利用它可以很方便地画出许多种几何图形。
三角尺
但是，你可曾想过，我们看到的三角尺为什么要做成两块都有直角而含有的锐角各不相同的形状呢？其中一块三角尺是一个等腰直角三角形，两个锐角都是45°。我们知道，45°角在画图中是最常见的。利用它，在制图中可以方便地画出表示金属材料的45°剖面线，又可以迅速地把另一个圆周四等分。
另一块三角尺，有一个锐角是30°，还有一个锐角是60°，利用它可以很方便地把一个圆周三等分，或者是六等分。
利用这两个三角尺，可以很方便地建立直角坐标系；也可以画出0°到360°之间的23个角来（你可以试一试）；还可以利用它上面的刻度来度量长度。其实，一副三角尺的用途还不止此，它还可以用来当角尺，检验某一物体的两条边是否垂直，也可用来寻找一个圆的圆心；还可以用来检验屋梁是否水平。当然，这也超出了画图的范围。
圆在生活中的应用
（1）有利于滚动。无论是汽车还是自行车，它的车身都是装在轴上，如果车的轮子是方形的话，车子走起来就会上下颠簸。圆形的车轮子，轮边到圆中心距离相同，这样走起来车身非常平稳，坐在车里也会感到很舒服。
（2）弹跳有规律。你看过篮球赛就会知道，运动员需要拍着球往前走，拍球时运动员眼睛并不看着球，而是看着场上的运动员。运动员为什么不看球而能拍球自如呢？这是因为圆形弹跳是有一定规律的。除了圆球，其他形状的球弹跳起来会一会儿东，一会儿西，让你摸不着门儿。
（3）容积较大。找来同样大小的两块铁皮做成一个圆碗和一个方碗。把圆碗里装满了水，然后把圆碗里的水慢慢倒进方碗里，你会发现方碗装不下这些水，有些水会流出来。这件事告诉我们，用同样大小的材料做成的圆形装东西最多。
（4）只有一个直径。下水道盖一般是生铁铸成的。每个都有几十斤重，如果掉在水道里，可就不容易往上捞。怎样才能保证下水道盖不管怎样盖法永远掉不下去呢？把盖做成圆形的。有的铁桶饼干，铁桶盖是圆的。你可以动手试一试，不管你怎样盖法，盖子不会掉进桶里。
分圆问题和数学家高斯
什么叫分圆问题呢？这还是一个仅用直尺和圆规将已知圆周n等分的几何作图题。粗心的人可能会说：“这有什么好研究的，在中学平面几何中，把圆周三等分、四等分、五等分、六等分，我们都作过，那是极为简单的几何作图题。”是的，这些分圆问题的特例是很简单的尺规作图题，而且，不仅如此，人们很早就能利用尺规把已知圆周2n等分（其中n是大于等于2的正整数）、3·2n等分、5·2n等分（其中n是0或正整数），并且相应地作出圆内接正2n角形、正3·2n角形、正5·2n角形，从等于圆周1/6的弧中，去掉等于圆周1/10的弧，利用剩下的弧长就能作出正十五角形，即能作出内接正十五角形，于是，我们又能作出圆内接正三十角形、正六十角形及一般形式：正15·2n角形。然而，事情并非如此简单，细心的人马上就会想到：上述分圆问题，只不过是讨论了将圆周三、四、五、六、八、十、十二、十五……等分，仍然还是一些特例。我们不禁要问：“利用尺规能将已知圆周七、十一、十三、十七……等分吗？”特别是当任意给定一个正整数N，是否总能利用尺规，将已知圆周N等分，并且相应地作出圆内接正N边形呢？
这个尺规作图难题，在2000多年的岁月中，不知有多少人，进行过多少次的尝试，都失败了。正当人类的智慧受到严重考验时，1796年正在德国哥廷根大学求学的、年仅19岁的高斯成功地找到了仅用尺规作正十七边形的方法，5年之后，他又证明了下面这样的定理：
边数是22n＋1形状的费尔马素数的圆内接正多边形必能用尺规作图。
可以把这个定理称为高斯判别法，即圆内接正多边形可以用尺规作图的，只要将N这个数分解质因数后仅仅只含有（1）彼此互异的形状为22n＋1的质因数；（2）2的正整数次幂。反之，如果N不是这样的正整数，就不能用尺规作出正N边形。
这里特别应该说明的是，22n＋1是费尔马数，而费尔马数并非都是素数，例如n＝5时，N＝225+1＝4294967297＝641×6700417