同时，当N＞5时，22n＋1所表示的数中，有素数，也有合数，因此，高斯的这个判别法又可以理解为：凡等分数N为22n＋1所表示的素数，尺规作图能解，其他的素数及其乘幂则皆不可解，根据高斯判别法，边数不超过100的正多边形中，只有24个可用尺规作图，其余74个均无解。如正3、4、5、6、8、10、12、15、16、17、20边形等都可以用尺规作出，而正7、9、11、13、t4、18、19边形等却不行，因为虽然它们都为素数，但不能表示为22n＋1的形状，所以，都不可解。
由于理论推演比较复杂，涉及的数学知识也很多，这里仅仅介绍高斯的作图方法而不加证明，高斯的几何作图法：
高斯的几何作图法
（1）在单位圆O中，作互相垂直的直径A1B1、D1C1为坐标轴。
（2）作OB＝-14。
（3）以B为圆心，BD1为半径画弧交横轴于C和C′。
（4）分别以C′、C为圆心，以C′D1、CD1为半径画弧交横轴于D′、D。
（5）以A1D1为直径作圆交OD1于F。
（6）以F为圆心，12OD′为半径画弧交横轴于K。
（7）以K为圆心，KF为半径画半圆交横轴于H、H′。
（8）过OH中点L作横轴的垂线交⊙O于A2A17，则A1A2即正十七边形之一个边的长。
（9）以A1A从A开始连续截取单位圆周得A3、A4、A5…A16各分点，并用直尺顺次连接各分点即得正十七边形。
于是，年轻的数学家高斯，用代数的方法解决了这个几何难题，不仅第一次作出了正十七边形，更为重要的贡献是：成功地给出了正N边形作图可能性的判别方法。
1832年，德国另一位数学家力西罗，用了80张大纸，给出了正257边形的完善作法。后来差尔美斯耗费了十年心血，按着高斯的方法，作出了正65537边形。他的手稿占用了整整一只大手提箱。
分圆问题是个几何作图的问题，而22n＋1是否表示一个素数，则是个数论方面的问题。这两者间怎么能发生联系呢？似乎是不可思议的，然而，我们越是这种感觉强烈，就越能说明当时高斯的发现是何等惊人，他不仅出色地解决了2000多年来遗留下来的一个几何作图难题，而且找出了“几何学”与“数论”这两个不同学科之间的微妙联系，这种善于在不同领域内寻找它们的共同规律的思考方法，是值得我们认真学习和大力提倡的。特别是在当今科学的发展进程中，这种倾向非常明显，它不受代数、几何、微积分、拓扑、函数论、微分方程等分科的限制，也不受数学、物理、化学、生物等学科的限制，而是综合运用各种理论和方法的积累去研究一些共同的规律性的问题。进而发展成边缘性的学科，如生物化学、数学物理、微分几何、结晶学……如果没有这种观察问题的能力和思考问题的方法是不行的。
从分圆问题的解决，我们可以看到高斯是一位很有才华的数学家，在高等数学中有很多定理、公式和方法是以高斯的名字命名的，他不仅对数学有很大贡献，而且对天文学、测量学、物理学的发展，都有巨大的功绩。
化圆为方
古希腊数学家苛刻地限制几何作图工具，规定画几何图形时，只准许使用直尺和圆规，于是，从一些本来很简单的几何作图题中，产生了一批著名的数学难题。化圆为方问题就是其中之一。
据说，最先研究这个问题的人，是一个叫安拉克萨哥拉的古希腊学者。
安拉克萨哥拉生活在公元前5世纪，对数学和哲学都有一定的贡献。有一次，他对别人说：“太阳并不是一尊神，而是一个像希腊那样大的火球。”结果被他的仇人抓住把柄，说他亵渎神灵，给抓进了牢房。
为了打发寂寞无聊的铁窗生涯，安拉克萨哥拉专心致志地思考过这样一个数学问题：怎样作出一个正方形，才能使它的面积与某个已知圆的面积相等？这就是化圆为方问题。
当然，安拉克萨哥拉没能解决这个问题。但他也不必为此感到羞愧，因为在他以后的2400多年里，许许多多比他更加优秀的数学家，也都未能解决这个问题。
有人说，在西方数学史上，几乎每一个称得上是数学家的人，都曾被化圆为方问题所吸引过。几乎在每一年里，都有数学家欣喜若狂地宣称：我解决了化圆为方问题！可是不久，人们就发现，在他们的作图过程中，不是在这里就是在那里有着一点小小的，但却是无法改正的错误。
化圆为方问题看上去这样容易，却使那么多的数学家都束手无策，真是不可思议！
年复一年，有关化圆为方的论文雪片似地飞向各国的科学院，多得叫科学家们无法审读。1775年，法国巴黎科学院还专门召开了一次会议，讨论这些论文给科学院正常工作造成的“麻烦”，会议通过了一项决议，决定不再审读有关化圆为方问题的论文。
然而，审读也罢，不审读也罢，化圆为方问题以其特有的魅力，依旧吸引着成千上万的人。它不仅吸引了众多的数学家，也让众多的数学爱好者为之神魂颠倒。15世纪时，连欧洲最著名的艺术大师达·芬奇，也曾拿起直尺与圆规，尝试解答这个问题。
达·芬奇的作图方法很有趣。他首先动手做一个圆柱体，让这个圆柱体的高恰好等于底面圆半径γ的一半，底面那个圆的面积是πγ2。然后，达·芬奇将这个圆柱体在纸上滚动一周，在纸上得到一个矩形，这个矩形的长是2πγ，宽是γ／2，面积是πγ2，正好等于圆柱底面圆的面积。
经过上面这一步，达·芬奇已经将圆“化”为一个矩形，接下来，只要再将这个矩形改画成一个与它面积相等的正方形，就可以达到“化圆为方”的目的。
达·芬奇解决了化圆为方问题吗？没有，因为他除了使用直尺和圆规之外，还让一个圆柱体在纸上滚来滚去。在尺规作图法中，这显然是一个不能容许的“犯规”动作。
化圆为方问题不可能由尺规作图法来完成。这个结论是德国数学家林德曼于1882年宣布的。
林德曼是怎样得出这样一个结论的呢？说起来还与大家熟悉的圆周率π有关。
假设已知圆的半径为γ，它的面积就是πγ2，如果要作的那个正方形边长是x，它的面积就是x2。要使这两个图形的面积相等，必须有
x2=πγ2
即x=πγ
于是，能不能化圆为方，就归结为能不能用尺规作出一条像πγ那样长的线段来。
数学家们已经证明：如果π是一个有理数，像πγ这样长的线段肯定能由尺规作图法画出来；如果π是一个“超越数”，那么，这样的线段就肯定不能由尺规作图法画出来。
林德曼的伟大功绩，恰恰就在于他最先证明了π是一个超越数，从而最先确认了化圆为方问题是不能由尺规作图法解决的。
有人说，如果把数学比作是一块瓜田，那么，一个数学难题，就像是瓜叶下偶尔显露出来的一节瓜藤，它的周围都被瓜叶遮盖了，不知道还有多长的藤，也不知道还有多少颗瓜。但是，抓住了这节瓜藤，就有可能拽出更长的藤，拽出一连串的数学成果来。
数学难题的本身，往往并没有什么了不起。但是，要想解决它，就必须发明更普遍、更强有力的数学方法来，于是推动着人们去寻觅新的数学手段。例如，通过深入研究包括化圆为方三大几何作图难题，开创了对圆锥曲线的研究，发现了尺规作图的判别准则，后来又有代数和群论的方程论若干部分的发展，这些都对数学发展产生了巨大的影响。
最短距离问题趣谈
19世纪德国柏林大学数学教授斯泰纳，根据生产实线的需要，研究了一个虽然简单但实用价值很大的问题，即在三个村庄间，建立一座供水站。为节省水管，问怎样选择供水站的地点，到村庄的距离的总长为最短。
换成数学语言就是：
设A、B、C是平面内不在同一直线上的三点，求在△ABC中找一点P，使PA＋PB＋PC为最短。
这个问题还可以推广为：
在A、B、C三个村庄间建立一座供水站，已知修往A庄的单位造价是m元／米，修往B庄的单位造价是n元／米，修往C庄的单位造价是r元／米，问供水站建立在何处，才能使总造价最省。
也就是在△ABC中，求使
mAP＋nBP＋rCP
取极小值时P点的位置。
或者把这个问题变化为：
设三个村庄，每个村庄各有上学孩子为40人、50人、60人，要在三个村庄间建立一座学校，使所有孩子耗费在走路上的时间总数为最少，即设学校到三个村庄之距离分别为S1、S2、S3，求使
40S1＋50S2＋60S3
取极小值的学校的位置。
尽管上述三个问题提法不同，但都是同一个数学问题，即
在△ABC内找一点P，使
mAP＋nBP＋rCP
取极小值。其中m、n、r为已知常数（第一个问题是后面两个问题的特例，m＝n＝r＝1）。
因为这个问题是斯泰纳首先提出的，所以叫做斯泰纳问题，通常也叫做最短距离问题。这个问题提出后不久，就被解决了，并且得到了广泛的应用。
现给出两种非常有趣的解法。
只要把包含这三个村庄的地图放在一张桌子（或者架起的纸板）上，再在相当于各个村庄的A、B、C三处在桌子上打三个洞，通过这些洞垂下三条绳子，每条绳子一端分别系上重40克、50克、60克的砝码，这三条绳子另一端结在一起，我们所要求的点P（或者学校、供水站）就应该在绳结所停留的地方。
这个实验解法十分容易做到，但是，它的道理是什么呢？这倒是值得我们仔细研究的。由物理学可知，若三条绳子上都系40克重的砝码，则绳结一定要在△ABC三条中线交点处（三角形的重心）停留。即当m＝n＝r时，P点是在△ABC的重心处。若有两条绳子上不系砝码，只有一条（例如A点处）系上120克砝码，则绳结一定停留在A点处。若三条绳子上系着不同重量的砝码，就相当于质量不均匀分布的三角形物体，求该物体的重心位置。
我们把这个三角形物体看成是受三个力（显然是平行力）P1、P2、P3的作用，可见求重心就转化为求三个平行力合力的问题。因为这个合力，即物体的重力，并且无论物体处在什么位置上，其重力总是通过一个确定的点，此点即重力的作用点，也就是物体的重心。
由实验的解法容易找到这个点的位置，要用定量的办法确定这个点的位置又如何求呢？当引入A、B、C三点的坐标为A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），再根据平面内任一力系平衡的充分必要条件是：所有各力对平面内任意一点力矩的代数和等于零，立即可得下面重心的坐标公式：
x＝∑3i=1pixi∑3i=1piy＝∑3i=1piyi∑3i=1piyi下面再给出这个问题的第二种解法。
如果力系各力的作用线均在同一平面内，并且各力的作用线汇交于一点，这样的力系叫做平面汇交力系。
设物体受到两个共点力P1和P2的作用，它们的合力可由平行四边形法则来确定（如图2）。两个相交力的合力，也可用这样的方法来确定。如图3所示，先作力P1，在P1的末端作力P2，然后连接P1的始端与P2的末端所得的矢量R，即为它们的合力。这种求合力的作图法，叫做力三角形法则。所得的三角形也叫做力三角形。若物体受多个共点力的作用，求这多个力的合力可以连续应用三角形法则，将各已知力首尾相接，连成折线（图4），最后连接折线的首末两点，便得合力。这种求合力的作图法叫做力多边形法则，所得的多边形也叫做力多边形。
根据平面汇交力系平衡的充分必要条件，力系各力组成的力多边形自行闭合。把三角形看成一个物体受到三个大小和方向都不同的力的作用，使其平衡，则所得到的是一个闭合的力三角形，它的三条边就和这三个力的大小和方向相当。
如图5作一个力三角形，使其各边长分别为40、50、60单位。设顶点A、B、C的三个外角分别为α、β、γ，所求的点P与三个顶点的连线，这些直线所夹的角，即∠CPB、∠APB、∠APC正好等于A、B、C的三个外角，即∠APC＝∠α、∠APB＝∠β、∠BPB＝∠γ。
为什么P点即为所求之点？P点的位置又是用怎样的作图方法确定呢？通过下面给出的两个几作图方法以及读者非常熟悉的平面几何知识，不难给出它的证明。
作法1：如图6在力三角形△ABC中，首先作P1P2的合力BB′=R1，再作P3P2的合力CC′=R2，最后作P1P3的合力AA′=R3，则三个合力相交于P点，P点即为所求。
容易看到△ABC的三边AB？瘙綊12A′B′，AC？瘙綊12A′C′，BC？瘙綊B′C′，而P点恰好是△ABC三条中线的交点。
这个解法使人发生兴趣的是：从力学角度来理解，P点是三个合力的汇交点，要使这个力系平衡，三个合力的合力必等于零。要从几何作图来理解，它恰好是△ABC三条中线的交点，并且，不难证明：
∠APC＝α，∠APB＝β，∠BPC＝γ
作法2：由于△ABC的三个外角α、β、γ是已知的，并且AC、AB、BC的长也一定，所以，以AC为弦，作一个含有α度的弓形弧；再以AB为弦，作一个含有β度的弓形弧，与前弧相交于P点，则P点即为所求。因为α、β、γ三个外角之和为360度，各含α度、β度两个弓形弧之交点P与A、C、B连线，∠APC＝α，∠APB＝β，由于周角也是360°，所以∠BPC也一定是γ度。