植物“工程师”创造出的几何美
传说，鲁班造伞的时候，还是受荷叶的启示。植物在亿万年的进化历程中，经过大自然的精雕细刻，形成了千姿百态，又能适应环境的几何结构。细心的人可能观察到，那盛开的鲜花多是四瓣，如油菜花、紫罗兰；或者是五瓣为基数，如桃花、月季花；也有的花萼、花瓣合生成筒状，如牵牛花。这些花都辐射对称或两侧对称。
不仅花具有这般几何美，植物叶片也同样如此，叶在茎上的排列方式，也采取了独特的空间对称，即叶序。绝大多数叶片背面，布满了对称的叶脉，能对叶片起补强作用。
工程师们正是利用花和叶这种巧夺天工的对称美设计出许多新奇的建筑，如根据椰树巨大叶片的“之”字结构，遇飓风很少折断的原理，制造出了楼房顶棚；根据前草的叶子是螺旋生长的，每片叶子都能吸收充足的阳光，建造了现代螺旋式高楼，这样每个房间都能较好地采光。
卡当公式之谜
1935年2月22日，意大利的哥特式米兰大教堂内人头攒动，热闹非凡，人们翘首等待一场激动人心的数学比赛。比赛的挑战者是数学教授费洛的学生佛罗雷都斯。他认为三次方程求解是一个数学高峰，而当他得知出身贫寒、貌不惊人的小人物塔塔里亚会解三次方程时，心中十分震怒，于是向塔塔里亚发出挑战。比赛开始了，双方各出30道三次方程求解题。塔塔里亚从容不迫，运笔如飞，不到两个小时就解完了全部方程。而佛罗雷都却望着塔塔里亚的30道题，一筹莫展，最后以030败下阵来。
从中亚数学家花拉子模提出一元三次方程公式解后，世界数学家在探求三次方程的公式解，经过700多年的艰苦探索，终于被塔塔里亚攻破了。但他不想把成果公布于世，对求教者也一概拒之门外。他在1539年把这一秘诀传给了卡当，并要他还保守这个秘密。卡当是16世纪著名数学家，也是一个具有传奇色彩的怪杰。他在获得秘诀六年后，自毁诺言，把它传给了他的东床快婿拉里，并于1545年发表在《大法》一书中。以上就是后来人们把三次方程求根公式称为卡当公式的缘由。
稳操胜券之谜
古语云：“运筹帷幄之中，决胜千里之外。”只有正确运筹，才能稳操胜券。下面的两个游戏是数学家威索夫在1967年发明的：先把火柴放成两堆，两堆中的根数是任意的。然后轮流从甲、乙两堆中拿走一些火柴，原则是或只从甲堆中拿走一些（包括全部）；或只从乙堆中拿走一些（包括全部）；或从甲乙两堆中拿走相同的数目。两人轮流拿，谁拿到最后一根，谁就获胜。举个例子：假设甲堆有17根火柴，乙堆有14根火柴，记为（17，14）。由A先拿，A在甲、乙中分别拿走1根成（16，13）；B在甲中拿走7根成（9，13）；以后A在乙中拿走6根成（9，7）；B在甲中拿走3根成（6，7）；A在甲中拿走2根成（4，7）；B在乙中拿走5根成（4，2）；A在甲中拿走3根，此时成（1，2）。这样不管B如何拿，都只能变成（1，1），（0，1），（0，2）或（1，0）这四种情形，A都可拿到最后一根火柴而获胜。所以我们称（1，2）为获胜位置。到达获胜位置就稳操胜券。
我们可以通过倒推得到获胜位置分别为（0，0），（1，2），（3，5），（6，10），（9，15）…一旦你达到了其中一个位置，那么就一定能够胜券在握了。你掌握了获胜位置的诀窍了吗？
形数之桥
17世纪以前，几何与代数作为数学的两大分支一直沿着各自的轨道发展着。几何主要研究“形”，而代数主要研究“数”。数、形之间能架起联通的桥吗？为了解开形数桥之谜，不少数学家付出了辛勤的劳动。
笛卡尔是法国的著名数学家。他曾在法国奥伦治公爵的军队当文职军官。自从他成功地解决了一个征答的数学难题后，就对数学发生了浓厚的兴趣。他总是在想：驰骋的骏马，陨落的流星，怎样用代数方法描述这一几何曲线呢？公元1619年，部队驻扎在多瑙河河旁的一个小镇上。一天夜晚，笛卡尔躺在床上苦苦思索这个问题，他看到一只小虫正缓慢而笨拙地爬着，越过天花板的一个个方格。小虫停下来，他的位置能否确定呢？从西往东数在第八方格，从南往北数在第十方格（8，10）这一组数不就可以确定小虫所在的位置了吗？他豁然开朗：把点和线放在一张方格纸（即坐标平面）上，用坐标这座桥便把几何语言翻译成代数语言。
从此，他创立了一门崭新的学科：解析几何。
渡河之谜
在中国漫长历史长河中，朵朵数学浪花闪耀着智慧的光辉，渡河问题就是其中之一。
很久以前，一船夫带着一只狼、一只羊和一捆白菜来到渡口。船夫在场时，狼和羊都很听话；船夫不在场时，狼就要吃羊，羊要吃白菜。渡口只有一只小船，小船也只能载得起船夫及三者之一。现在船夫要把三者带过河去，显然，船夫第一次只能带羊过去，否则或狼吃羊或羊吃白菜。但船夫放下羊后从对岸划回来后，第二次若运狼过去，再回来运白菜时，狼在对岸就会把羊吃掉；若运白菜过去，再回来运狼时，羊在对岸又会把白菜吃掉。船夫该怎么办？正当船夫左右为难时，来了一位老翁，于是船夫向老翁请教，老翁说，我在这看着，不许狼吃羊或羊吃白菜。可船夫说，狼或羊都不会听你的话，他们只听我一个人的指挥。老翁想了一会儿，告诉船夫一个办法。办法是这样的：船夫运羊到对岸后，回来将狼带过去，将狼放下后随船把羊带回来，然后放下羊把白菜带到对岸，此时对岸是狼和白菜，最后再回来运羊。这样三者都过了河。老翁就这样运用推理巧妙地解开了渡河之谜。
神秘的遗嘱
美国著名的科学家、避雷针的发明人本杰明·富兰克林为科学奋斗一生，于1790年去世。他死后仅留下约1000英镑的遗产，但令人惊奇的是，他留下了分配几百万英镑财产的遗嘱，遗嘱中写道：1000英镑赠给波士顿的居民，如果他们接受了这1000英镑，那么这笔钱应托付给一些挑选出来的正直无私的人，由他们管理。他们得把这笔钱按每年5%的利率借给一些年轻的手工业者。这笔款子过100年增加到132000英镑，把其中的100000英镑用来建造一座公共设施，剩下的32000英镑拿去继续生息100年。在第二个100年末，这笔钱增加到4061000英镑，其中1061000还是由波士顿居民支配，而其余的3000000英镑由马萨诸塞州管理。过此以后，我可不敢多作主张了。
仅有1000英镑的富兰克林，竟立下了百万财富的遗嘱。下面让我们通过计算来揭开这个谜。富兰克林原有遗产1000英镑，按年利息5%借出，第一年末应有财产1000×（1＋5%），第二年末应有财产1000×（1＋5%）2，……用计算器不难算得100年财产数是131501英镑。第二个100年末，其财产应是31501×（1＋5%）100=4142421。
其数额比富兰克林遗嘱中写的还多8万英镑，可见富兰克林的遗嘱是可信的。
费解的陶器几何纹
花纹陶器新石器时代，陶器上的纹饰逐渐由动物图案转化为抽象的几何印纹。这些几何纹多数是优美流畅的直线、曲线、水波纹、云雷纹、漩涡纹、圆圈纹等等。关于这些几何纹的含义，至今仍是中国文化史上的一个谜。
一种说法认为，陶器上的几何纹体现了原始人由实用向审美观念的转化，早期的陶器几何纹和生产密切相关。但随着社会经济的发展，人们对陶器上纹饰的需要已经是美观为第一需要的。这足以说明几何图形所创造出的美的价值。
另一种说法是，陶器上的几何纹虽然有的来源于生活，但更多的几何纹印和部族图腾的崇拜有关。绝大多数场合下，陶器几何纹都是作为图腾或其他崇拜的标志而存在的。不同的几何纹代表着同动物为图腾的不同部落民族。这也说明了几何纹的魅力之所在。
除了以上两种说法，几何纹还能够反映当时人们丰富的食品和较为复杂的社会生活。所以，一种几何纹也可能同时代表着几种事物，包含着几种含义。
巨型石圈之谜
在欧洲西北地区的原野上，有一些奇形怪状的石圈，是用几十吨重的巨石垒砌而成的。从空中往下看，它们是大圈套小圈的一组组同心圆；从地面上看，是一层层十分坚固的石墙，每一道弧形的墙都有一些不规则的缺口。通过这些缺口，人们可以方便地进入石圈中心。
这些巨型石圈究竟做什么用的，人们有很多种推测。后来，新兴的考古天文学对欧洲巨型石圈作出了较科学的解释，认为它们是3000多年前的天文观测站。因为一位英国的教授在仔细丈量了600多个巨型石圈和它们之间的相互距离后，得出结论说，石圈是根据一个很准确的工程图设计建造的，而这些设计又是依据了极为准确的天文知识和数学知识。并且证实，倘若人们站在一巨型石圈的中央，便可以根据太阳和月亮照在石圈上留下的标记，观测日月活动的规律。
巨型石圈到底是不是天文观测站？有人反对这种观点，认为考古学家是把一些偶然巧合的事情夸大地归结为科学。所以巨型石圈之谜仍然而没有解开。但可以肯定的是，这些石圈确实是经过周密的数学计算。
高速计算之谜
高速计算世界上计算速度最快的，当然是电子计算机。然而，有一些人的计算速度，毫不逊色于电子计算机。而且他们并不是数学家。
有一位荷兰人叫克莱因，他高速准确的计算能力使计算中心的数学家为之瞠目。
1981年4月23日在法国巴黎，克莱因当着3000名观众举行了一场心算表演。一位观众请他心算38×22×27，他不假思索地写出22572。
有人请他心算4529÷29，当他把数156.1724139331033414827…一直写到黑板边沿上，总共才用了20秒钟。有人问克莱因是如何计算的，他总是笑着说，要用文字表达很难。
人脑的这种惊人的计算能力是怎样获得的，至今没有人能回答。它往往是天生的，不是经后天的训练才获得的。汤姆·富勒生于非洲，后被奴隶贩子贩到美国的弗吉尼亚当奴隶。虽然汤姆目不识丁，却有着现在计算机一样的能力。一位教师对此很是惊讶，特意出了很多测验题，每次的提问，汤姆都能立刻给予答复。其中有一个问题是把70年12天零12小时化作秒数，结果汤姆在90秒钟内就得出了答案。
人脑自动计算机是如何运行的？人脑究竟有多大的计算能力？这真是难解的谜。
鸽笼原理
如果有人说“在13个人中必有2个人是在同一月份出生的”，人们肯定会半信半疑。
实际上这个结论是对的，它是根据“鸽笼原理”得出的。
有3只鸽子要飞进2个鸽笼中，有4种可能的进法。仔细想想，可以知道3只鸽子飞进2个鸽笼，必有一个鸽笼至少飞进2只鸽子。这就是鸽笼原理中最简单的例子。那鸽笼原理尽管很简单，却很重要，用它可以解决许多有趣的问题。例如我们把13个人看成13个鸽子，一年的12个月看成是12个笼子，利用这一原理很容易得知13个人中必有2个是同一个月生的。
又如，在1988年出生的367个人中至少有2人生日相同。原因在于：1988年有366天，根据鸽笼原理就可以得到这一结论。再如，抽屉里有10双手套，从中取出11只，其中至少有2只是配对的，这也是由鸽笼原理得到的。
数字密码锁为什么比较安全
我们在出差时所用的包上挂一把数字密码锁，只要知道一个密码，就可以非常巧妙地打开。那么，这锁是否安全呢？
如果数字锁是三位数，每一格都可以出现0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字，这样排出的三位数共有10·10·10=1000（个）。而其中只有一个密码号才能打开，因此打开此锁的概率为11000。
不知道密码的人，想偷偷打开锁，就得一个不漏地一个一个去试，先000，001，002，…一直试到999。由于心理紧张，还会重复已试过的数。就是试到了密码号而不拉一下，又会“滑”过去。这样就会试1000多个数，才能打开。如果每试一个数要花去10秒钟，试1000个数至少要花费：
1000×1060≈167（分钟）≈2.8（小时）。
所以要想偷偷打开锁，至少要花去近3小时。旅途中的人，不可能离开包2个多小时，所以还是比较安全的。
重要的文件箱，都有六位数的密码锁。不知道密码锁的人想偷偷打开箱子花的时间会更多。
六位数数字锁，每一格都可以出现0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字，这样排出的六位数共有：10·10·10·10·10·10=106=1000000（个）。而其中只有一个密码号才能打开锁。因此打开锁的概率为1106。
同样，不知密码的人，想找开锁总得一个一个地去试，加上心理上的紧张，还会不自觉地重复试号。这样试号就会超过106个。每试一个号也按10秒计算，打开锁至少要花费：
106×103600≈2778（小时）。
即使每天不睡，也得花费将近4个月时间才能打开。所以密码锁一般还是比较安全。