怎样计算用淘汰制进行的比赛场数
如果你所在的学校要举办一次象棋比赛，报名的是50个，用淘汰制进行，要安排几场比赛呢？一共赛几轮呢？如果你是比赛的主办者，你会安排吗？
因为最后参加决赛的应该是2人，这2人应该从23=8人中产生的。这样，如果报名的人数恰巧是2的整数次幂，即2、4（22）、8（23）、16（24）、32（25）、…，那么，只要按照报名人数每2人编成一组，进行比赛，逐步淘汰就可以了。假如先报名的人数不是2的整数次幂，在比赛中间就会有轮空的。如果先按照2个人一组安排比赛，轮空的在中后阶段比，而中后阶段一般实力较强，比赛较紧张，因此轮空与不轮空机会上就显得不平衡。为了使参赛者有均等的获胜机会，使比赛越来越激烈，我们总把轮空的放在第一轮。例如，上例的人在32（25）与64（26）之间，而50-32=18。那么，第一轮应该从50人中淘汰18人，即进行18场比赛。这样参加第一轮的18组36人，轮空的有14人。第一轮比赛后，淘汰18人，剩下32人，从第二轮起就没有轮空的了。第二轮要进行16场比赛，第三轮8场，第四轮4场，第五轮2场，第六轮就是决赛，产生冠军和亚军。这样总共进行六轮比赛，比赛的场数一共是18+16+8+4+2+1=49，恰恰比50少1。
我们再来看看世界足球赛的例子。2006德国世界杯赛共有32支参赛球队，比赛采取的方式是先进行小组循环赛，然后进行淘汰赛。如果全部比赛都采用淘汰制进行，要安排几场比赛呢？32正好是25，因而总的场数是16+8+4+2+1=31，也是比32少1。
不妨再从一般情况来研究。如果报名的人数为M人。而M比2n大，但比2n+1小，那么，就需要进行n+1轮比赛，其中第一轮所需要比赛的场数是M-2n，第一轮比赛淘汰M-2n后，剩下的人数为M-（M-2n）=2n。以后的n轮比赛中，比赛的场数为：
2n-1+2n-2+2n-3+…+23+22+2+1
=（2n-1+2n-2+2n-3+…+23+22+2+1）×（2-1）
=2n-1
所以，一共比赛的场数是（M-2n）+（2n-1）=M-1，即比参加的人数少1。
其实，每一场比赛总是淘汰1人。在M人参加的比赛中，要产生1个冠军就是淘汰M-1人，所以就得比赛M-1场。你明白了吗？
现在请你自己来安排一次乒乓球比赛，报名参加男子单打的有158人，报名参加女子单打的有96人，应该进行多少场比赛？怎样安排这些比赛呢？
怎样计算用单循环制进行的比赛场数
用淘汰制进行球类锦标赛，比赛场数比较少，所需用的时间较短，所以，报名人数较多的个人锦标赛往往采用这种方法。但有一个缺点，就是要获得冠军，中途不能有失。而且如果两强相遇过早，所产生的亚军和其他名次往往与实际水平不完全相符。因此，在报名单位较少的一些团体锦标赛中，往往不采用淘汰制而采用另一种比赛方法——循环制。
用循环制进行的比赛场数应该怎样计算呢？下面我们来看一个例子。如果你所在的学校有15个班级，每个班级有1个球队参加比赛，若用单循环制进行，一共要比赛几场？如果用单循环制进行比赛，每一个队要和另一个队比赛一场，所以在15个球队中，每一个队伍要进行14场比赛，15个球队就有15×14场比赛。但每场比赛是两队互相交锋的，因此，这样计算就把一场比赛算做两次了，而实际的比赛场数是15×142=105（场）。
我们再来看看世界杯足球赛的例子。2006世界杯足球赛有32支参赛球队，如果始终采用单循环制进行比赛，那么一共要进行的比赛场数是（32×31）÷2=496（次）。
一般说来，单循环制的比赛，如果有n队报名，那么，比赛的场数总共是n×（n-1）2。
但是这样安排场次太多，费时太长。因此，许多比赛采用的不完全是单循环制，而是分组双轮单循环制。下面我们来看，如果把15队分成3组，每组5队，采用分组双轮单循环制，一共要比赛几场？
在这3组中用单循环制进行比赛，产生3个分组冠军，这3队再进行第二轮的单循环赛，产生冠亚军。这样，
第一轮是5×42+5×42+5×42=30（场）；
第二轮是3×22=3（场）；
比赛的总场数是30+3=33（场）。
再来看2006世界杯足球赛的例子，32支参赛队分成8个组，每组4个队。如果按照分组进行双轮单循环赛，那么，第一轮要比赛4×32×8=48（场），产生8个分组冠军；第二轮，这8个队再进行（8×7）÷2=28（场）比赛，决出冠亚军。
现在请你用同样的方法来安排一次乒乓球赛，报名参加男子团体赛的有26个队，报名参加女子团体赛的有19个队。如果用单循环制进行比赛，要安排几场比赛？如果各分成3组，男子两组各9队，一组8队，女子两组各6队，一组7队，采用分组双轮单循环制，一共要比赛几场？事实上很多比赛会同时采用这两种比赛方式——淘汰制和单循环制。例如2006世界杯足球赛，先是32支球队分成8个组，采用分组单循环制，进行48场比赛，每组的冠亚军共16支球队，再采用淘汰制，进行8场比赛，决出前8强。再用淘汰制，进行4场比赛，决出前4名。还是用淘汰制，进行2场比赛，决出前2名。最后前2名争夺冠亚军，另外还安排一场决出第3、第4名的比赛。这样比赛场数总共是48+8+4+2+1+1=64（场）。
湖中鱼数量的概率测定
为了方便而且快速地知道某个湖中有多少鱼，渔民们常用一种称为“标记后再捕”的方法。先从湖里随意捕捉一些鱼上来，比如说捕到1000尾，在每条鱼身上做记号后又放回湖中。隔一段时间后，又从湖中随意捕一些鱼上来。比如说第二次捕到200尾，看其中的标记的鱼有多少尾，如果10尾有标记，那么渔民就会估出湖中鱼大约有20000尾。
渔民们是这样想的：200尾鱼中有10尾是有记号的，如果湖中鱼是均匀分布的，那么每尾有记号的鱼被捕到的可能性的大小是10/200＝1/20。假设湖中有鱼n尾，其中1000尾是有标记的，那么每尾有记号的鱼被捕到的可能性大小还应是1000/n。所以有1000/n＝1/20，即n＝1000×20＝20000（尾）。
数学家们通常把上述度量事件出现的可能性大小的量叫做“概率”。概率论就是研究这种随机事件出现的可能性的数学分支，它在现代科学技术中应用很广泛。“湖中有多少鱼”的问题就是概率论中的一个比较著名而且是最简单的问题。又如工厂里检验产品的废品率也是运用了同样的概率论原理。
赌徒输赢的概率
概率论的产生，还有一段名声不好的故事。17世纪的一天，保罗与著名的赌徒梅尔赌钱。他们事先每人拿出6枚金币，然后玩骰子，约定谁先胜了三局谁就得到12枚金币。比赛开始后，保罗胜了一局，梅尔胜了两局，这时一件意外的事中断了他们的赌博。于是他们商量这12枚应怎样合理地分配。保罗认为，根据胜的局数，他自己应得总数的1/3，即4枚金币，梅尔应得总数的2/3，即8枚金。
但精通赌博的梅尔认为他赢的可能性大，所以他应该得到全部赌金。于是，他们请求数学家帕斯卡评判。帕斯卡又求教于数学家费马。他们一致的裁决是：保罗应分3枚金币，梅尔应分9枚金币。
其中费马是这样考虑的：如果再玩两局，会出现四种可能的结果：梅尔胜，保罗胜；保罗胜，梅尔胜；梅尔胜，梅尔胜；保罗胜，保罗胜。其中前三种结果都使梅尔取胜，只有第四种结果才使保罗取胜。所以，梅尔取胜的概率为3/4，保罗取胜的概率为1/4。因此，梅尔应得9枚硬币，而保罗应得3枚硬币。
帕斯卡和费马还研究了有关这类随机事件的更一般的规律，由此开始了概率论的早期的研究工作。
盈不足问题
《九章算术》中第七章的第一题是：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数物价各几何？其意是：有若干人共同买东西，如果每人出8块钱，则余3块，如果每人出7块钱，则少4块，问人数及所买东西的价格各是多少？
《九章算术》是在中国数学著作中影响最大的一部。全书分九章共246个应用问题，是以问题集形式出现的数学名著。它成书于公元1世纪，内容丰富多彩，在许多方面都居于世界领先地位。
“盈不足问题”的解决方法被称为盈不足术，设人出a1盈b1，人出a2不足b2，则
u（物价）=a2b1+a1b2a1-a2（1）
v（人数）=b1+b2a1-a2（2）
w（每人出钱数）=uv=a2b1+a1b2b1+b2（3）
按照这组公式，开始所述问题可得解：
物价=7×3+8×48-7=53（块钱）
人数=3+48-7=7（人）
有一个盈数和一个不足数是简单的标准的盈不足问题，使用公式（1）、（2）、（3）问题便迎刃而解。如果把这组公式作适当的变通，则可以解出“两盈”、“两不足”、“一盈一适足”、“一不足一适足”等问题。下面是这四类问题的例子。
“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。问人数金价各几何？”
“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三。问人数羊价各几何？”
“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足。问人数豕价各几何？”
“今有共买犬，人出五，不足九十；人出五十，适足。问人数犬价各几何？”
对于“两盈”或“两不足”问题，有：
u=a2b1-a1b2a1-a2
v=b1-b2a1-a2
w=a2b1-a1b2b1-b2
对于“一盈一适足”或“一不足一适足”问题，有：
u=a2b1a1-a2
v=b1a1-a2
w=a2
其中a1、a2是前后两次付款数，b1、b2是相应的或盈，或不足，或适足数。
据上述公式，可分别计算出上述四题的答案，按顺序为：33人，金价9800；21人，羊价150；10人，豕价900；2人，犬价100。
在《九章算术》的盈不足章中，前8个题目是明显的盈不足问题。而后面的12个题，在形式上不属于盈不足问题，但是作者仍然用盈不足术来解，十分巧妙。
例如：“今有垣高九尺。瓜生其上，蔓日长七寸，瓠生其下，蔓日长一尺。问几何日相逢？瓜、瓠各长几何？”
其意是：有一堵高9尺的墙，墙顶上长一棵瓜，瓜蔓日长7寸往下爬；墙脚种瓠。瓠蔓日长1尺往上爬，问几天后瓜和瓠相逢，相逢时瓜和瓠各长多少？
我们假设生长了5日，瓜瓠共长了（0.7+1）×5=8.5尺，距9尺还差5寸（1尺=10寸），再设生长了6日，瓜瓠共长了（0.7+1）×6=10.2尺，比9尺又多出了1.2尺。即“假令五日，不足五寸，令之六日，有余一尺二寸。”可见，此时问题表现就是盈不足问题。
瓜瓠相逢日数=6×0.5+5×1.21.2+0.5
=5517（天）
瓜长长度=0.7×5517=31217（尺）
瓠长长度=9-31217=5517（尺）
这种计算方法在形式上是先采取两次假设，得出相应数值，以此为条件便构成盈不足问题，进而用盈不足术解之。
盈不足术后来被传到西方，受到数学家们的高度重视，得到了辉煌的发展，在世界数学史上占有相当高的地位，特别是通过两次假设再使用盈不足术的解题方法（假设法）备受人们推崇。
13世纪的阿拉伯数学家们对“假设法”作了力学解释，并称之为“秤盘法”。这在1222年伊本·阿尔·班纳的著作《塔尔基斯》中有记载“秤盘法”是一种几何方法，其内容为：“取一定形式的秤，并在支架上放上已知量。在一秤盘上放一任选量，然后根据要求增加，所得结果与已知量比较，如果任选量选对了，则秤盘上的量即等于已知量；如果没选对，则记下这一盘的误差。然后，在另一秤盘中放入另一任选量，重复以上步骤。做完这些之后，将每盘误差乘以另一盘之量，如果两盘误差都是正数或都是负数，则从较大误差中减去较小误差，同时，从较大的乘积减去较小的乘积，之后，将乘积之差除以误差之差。如果两盘之误差一正一负，则将乘积之和除以误差之和。”
假设法（或称秤盘法）可以算是一种一次内插法，在高等数学中求某些方程的近似实根时，要借助这种方法。著名科学史专家李约瑟说得好：“盈和不足的概念在哲学上是十分重要的，它推动了所有的古代数学，也推动了希腊的生物学。”
牟合方盖
牟合方盖是中国魏晋时期数学家刘徽在研究球的体积与球的直径之间的关系时，提出的问题。“牟合方盖”中的“牟”表示相等，“盖”表示伞。“牟合方盖”为中轴线在中点垂直相交的两个相同的圆柱体的公共部分，由于它的形状如同把两个相等方口圆顶的伞对合在一起，故取名为“牟合方盖”。