□演讲人 刘建亚
□演讲时间 2011年5月15日
□演讲地点 山东省图书馆
非常荣幸能够在“大众讲坛”演讲，我今天报告的题目是《数学文化》。这样的一个话题只能从哲学的角度去谈，要是光谈数学而陷入细节，在座的诸位恐怕就不感兴趣了。从哲学层面去谈有个好处，就是可以随便些，哲学不像科学，尤其不像数学，数学的真理只有一个，不能商榷。但是哲学，同一个哲学家的观点都可以是互相矛盾的，不同哲学家之间的观点，没有两个是一样的。就是说哲学当中充满了商榷。
今天我讲的关于数学文化的哲学思考都是可以商榷的，诸位如果要批判或者商榷，我都欢迎，因为没有一个固定的结论，我只是谈一些我的思考。我要谈三个话题：第一个是数学文化；第二个是数学文化的传播；第三个是数学文化人的特质。
第一，数学文化。
《韦氏词典》对数学是这么定义的：数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学问。那么数学家是如何研究数学的呢？这有个固定的模式，这个模式就是数学家们提出概念、提出猜想，而且在适当选定的公理及定义之上，通过形式推导得到定理。从中可以看出来，数学唯一允许的论证方法是形式逻辑推导。一些别的方法，在别的场合可以用，但是在数学中就不能用，比如辩证法、八卦、中药理论等，因为数学是需要通过形式逻辑推导的，是在选定的公理及定义之上做形式推导的。哲学当中为什么有那么多的争论，就是因为大家对公理的理解不一样。数学没有这么多的争论，是因为公理是大家都公认的。
那么数学的地位是什么样的？我画个图来描述一下，这个图是罗素的思路。这个图像一个金字塔，上边是哲学，第二个是数学，再往下是天文、物理、化学、生物等。越往上就越抽象，越往下就越实用，就是这个图的意思。最上面这两层——数学与哲学，叫形而上，就是自然当中没有的东西叫形而上，有的东西叫形而下。研究形而上的那门学问就叫形而上学。
有人说数学不是来自于生产劳动吗，怎么能是形而上学呢？有人说几何起源于人们丈量土地的愿望。当年尼罗河经常泛滥，地主对土地在泛滥之后面积的改变非常感兴趣，所以慢慢地几何学就诞生了。但是中国的黄河也经常泛滥，中国的地主对自己的土地也很关心，为什么几何学没有产生在中国、埃及而产生在古希腊呢？所以实际推动并不是数学形成的唯一原因。
再如，现实生活当中有3个人、3张桌子，但是现实生活当中没有“3”，你在现实生活中找得到“3”这个东西吗？没有。所以“3”就是形而上的、“3个人”是形而下的。数学是一门研究“无穷”的学问，自然界当中没有“无穷”，所以，数学就是一个形而上学。
数学的地位很像艺术的地位。我再把它画成一个图，哲学、艺术、历史、法学、经济学，越往上越抽象，越往下越贴近实际，这并没有好坏的判断，只有更抽象与更贴近实际。这个仍然是罗素的思路。艺术大部分是形而上学，艺术是现实生活当中所没有的。所以，数学的地位非常像艺术在另一个金字塔上的地位。
数学是人类文明基本的、重要的组成部分。一个智力健全的人，必须要具备一定的数学素养，这点是公认的。比如说你去美国留学，你要参加一个GRE的考试，这个GRE的考试当中有一部分要考数学，考初中的平面几何，但是没考化学、物理、天文、哲学，校方认为一个人如果不懂基本的数学常识，不具备基本的数学能力，就不能作为一个智力健全的人。不识字还可以生活，但是不识数就没法生活。
但是，数学的概念却不是那么容易理解的，这需要一定的努力。文化人类学就有这样的记载、研究。人在远古时期，认识“1、2、3”这些概念，曾经付出了很大的努力，经过了很多年。这可以通过考察非洲的那些原始的部落来得到证实。我们没法回到本民族几十万年前的时代，但我们可以考察一些现在仍很原始的部落，看看他们对数字是怎么理解的。从哲学的角度上说，如果能够认识到“1”，就能认识到我是存在的。认识到“2”，这就有一个飞跃，相当于认识到我跟我以外的世界是不一样的。人在非常小的时候，是分不清他跟他周围的世界的，他也可能把别的东西当成他自己身体的一部分。但是认识到“2”的概念，在哲学上就是说，能够认识到我跟非我这是两件不一样的事情，这是一个飞跃。认识“3”这个概念相当于有了交流，就是说在我跟一个非我之间的交流过程当中，我们提到了一个异于我们两个的一个话题，这就是“3”。所以，“3”是一个在“2”之上的更重要的飞跃。你去考察原始部落，你会发现，仍然有一些部落不认识“3”以上的数字，“3”以上就都叫“多”。但是“3”是一定要认识到的，否则就没有语言，认识不到“3”就没有语言。从“3”以上，人们认识数字的飞跃的意义就没有那么巨大了。当然另外一个巨大的飞跃就是无穷跟有穷。
什么叫文化呢？《现代汉语词典》的定义是：人类在社会历史发展过程当中，所创造的物质财富和精神财富的总和，特指精神财富，如文学、艺术、教育、科学等。文化实际上就是人类生存与发展的方式，从这个意义上来了解数学文化，我们就要先知道数学文化包含什么。
从狭义上说，数学文化包括思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成与发展。从广义上来讲，也包含数学家、数学史，数学发展中的人文成分，数学与各种文化之间的联系。
我们必须要区分数学与别的学问之间在研究内容与研究方法上的不同。
例如，数学跟自然科学的研究方法不一样。数学是形而上学，不是自然科学。所以数学与自然科学之间，除了研究内容不一样以外，研究方法上也不一样。数学的研究方法是做实验，实验完了归纳，归纳完了用逻辑演绎进行证明。自然科学虽然也先做实验，实验完了进行归纳，但少了一个过程——证明。
下面我详细讲一下：
数学的研究方法是先做实验，可能是数字实验，可能是理想实验，可能是用计算机做实验，实验完通过归纳总结出一个结论，这个结论叫猜想。猜想不是一个严肃的定理，一定要用逻辑来证明才行，证明后得到的结论叫做定理。
自然科学，即理、化、生，也先做实验，实验之后提出猜想，这个猜想在自然科学中叫做定理，不用证明，也没法证明。在还没发现它是错的之前，我们姑且相信它是对的，但它不是永远正确的。打个比方，你去医院透视之后，大夫在报告书上盖上“心肺未见异常”的章，就是做完实验了。“心肺未见异常”这个判断，就适用于定律。所谓的物理学定律就是到现在为止未见异常，但是明天是不是就看出异常来了，这个事情不好说。这就是数学跟自然科学一个非常大的区别，这也是为什么数学不易放在自然科学里面的一个原因。
再举一个具体的例子——哥德巴赫猜想。哥德巴赫猜测说：如果一个奇数大于等于7，这个奇数就一定能够写成三个素数的和。哥德巴赫做了很多实验，先从7开始，再算9、11，看看对不对，无论他怎么往后算，算出来也都对。但是他只是在做实验，是需要证明的，证明不了就叫猜想。这要是在物理当中就会叫哥德巴赫定律，因为是哥德巴赫提出来的，并且他用笔算了，结果都对。如果你举不出反例，这就是定律。
当然，这个证明的过程非常的漫长，到现在偶数的哥德巴赫猜想也没被完全证明出来。奇数的猜想是1921年和1937年的时候，由三位大数学家证明出来的。首先是哈代和里特伍德在1921年的时候，给出了一个初步的条件性的证明，最终的证明是维诺格拉多夫在1937年完成的，从提出到证明用了差不多200年的时间。
第二，数学文化的传播，以及有什么样的传播途径。
数学有着各种各样的形象。高斯说：“数学是所有科学的女王。”它的总体形象，可以用真、善、美来概括。
真，就是说数学是真理。
善，就是说数学不光是一些空洞的理论，它是有用的，至少是无害的。
至于美，罗素说：“数学不仅拥有真，也拥有至高的美，一种冷而严峻的美，一种屹立不摇的美，如雕塑一般，一种不为我们软弱天性所动摇的美。”他把数学与绘画、音乐区别开来，绘画与音乐是富丽堂皇的修饰，数学是极其纯净的美，只有最伟大的艺术才能显示出最严格的完美。诸位如果不了解数学，看不出来数学的美，这也不要紧。民间公认的一些美，并不是每个民众都能理解它美在什么地方。
欣赏数学之美需要一定的数学基础，一点儿基础没有就想欣赏数学之美，就跟一点儿书法基础都没有，要欣赏王羲之的书法之美一样，是不可能的。哈代在《一个数学家的自白》一书里就谈到了数学美，他说：有两个定理，一个定理是2是无理数，还有一个是Fermat（费马大）定理，你看了这个定理的证明之后，就能体会到数学之美了。
我认为，数学文化不能简化为数学家的才艺表演。比如说一个数学家画了一张《阔浦遥山图》，这也算数学文化，但是不如一个画家给一个数学家画了一张像更有数学文化的含义，更不如一个数学家给另外一个数学家画了一张肖像更有数学文化。假如有一个数学家画了一张画，把他一辈子最得意的工作、研究的背景全都画在里面，这张画就有非常深刻的数学文化。
数学文化的传播分为以下几种：
一手传播就是数学家自己传播自己的学术思想，这是最宝贵的。哪怕是从文献学的角度来说，引用一个一手的文献要比引用一个N手的文献更可靠。所以说，一手传播是我们学习数学的人、研究数学的人必须要做的，这是我们的职责。
二手传播，就是数学评论家的传播。数学也是需要评论家的，需要对数学感兴趣的人。我很高兴能看到有数学评论家的存在。
当然也有N手传播。有些人既不读数学评论的论文，也看不懂数学评论家的东西，但是他可以读比数学评论家的东西更简单的东西，N手传播给别人也是可以的。走在大街上，对一个小孩讲，华罗庚很了不起，你要看看他的传记，这也是数学传播，这也是值得称赞的。所以一手、二手、N手传播没有高下之分，因为每个人都有自己的生活方式，你不能要求每个人都当数学家。况且从另一个角度说，如果一个世界遍地都是数学家，这个世界会很无趣的。
一手传播就是数学家本人在从事研究的同时又阐述数学文化，其特征就是画龙点睛、“春秋笔法”。例如罗素写《西方哲学史》，它的绝大部分篇幅都是讲主人公的哲学思想，罗素给予这些哲学家的身世的空间非常少，只用了非常简短的文字来描述这个人出生在什么地方，干了什么事，当过什么官。但是就是这些简短的描述，却能够显示出一个大家的功力。
在怀疑主义当中，笛卡尔是个怀疑主义的大师。所谓怀疑主义就是什么都怀疑，但是最后他发现，自己的存在这件事不能怀疑，因为我在思考，假如我都不存在，怀疑的主体就不存在，因此他说“我思故我在”。怀疑到最后，还原到一个最本原的状态。笛卡尔说：我赤身躺在床上，思考着我是不是存在的问题。罗素在《西方哲学史》上把这一段讲了一遍，也有评述，在“我赤身躺在床上”这个地方，有一个脚注——“当时睡衣还没有发明”。一个脚注告诉了我们笛卡尔所生存的社会环境大体是什么样子。假如说罗素用一千字、五千字来论述睡衣的问题，这就跑题了。通过这一脚注，我们看到了作者很深的功夫，不光是哲学的功夫，还有历史的、文化的，各方面的功夫。
《西方哲学史》中有一章讲马尔萨斯，他说人口的增长是以几何级数增长的，如果你不控制，粮食就不够吃了，因为粮食以算术级数增长。一个是用加法增加，一个是用乘法增长，人口如果太多了，没有粮食吃了就会发生战争，这是人们都不愿意看到的结果。因此，他说我们都不要生太多的孩子并到处宣讲这个学说。罗素在论述他的学说时说：“马尔萨斯实践自己的哲学卓有成效，他们家在四年之内生了三个孩子。”这应该算是罗素的“春秋笔法”，这样的传播需要专家本人有非常深厚的积累，用这种画龙点睛的方式把它写出来。
刚才讲的奇数哥德巴赫猜想，两位英国数学家哈代与里特伍德，1921年的时候给出了一个条件性的证明，后来被维诺格拉多夫全面证明，这是件轰动世界的事情，他做完这个证明以后，非常得意，所以他发表了很多有趣的见解。维诺格拉多夫是一个很有趣的人，他活到93岁，担任苏联科学院数学研究所的所长51年。维诺格拉多夫到80岁以后，还能用一只手攥碎三个核桃，身体非常强壮，活到93岁，他一直头脑清楚，力大无穷。他平时不散步，但一散步就走一天，很晚才回家。他证明了奇数的哥德巴赫猜想之后，哈代、里特伍德就请他到英国皇家学会去演讲。演讲完了有一个盛大的招待晚宴，一个钢琴师在那儿弹钢琴，主持人对维诺格拉多夫说：“俄罗斯的民歌非常好听，今天这个音乐家专门准备了一些俄罗斯民间音乐的谱子，我们的钢琴家给你伴奏，希望你能唱一首歌。”维诺格拉多夫说：“这个节目我表演不了，但是我可以给你表演一个别的节目。”他走到钢琴那儿，把钢琴给搬起来了。他就是这样一个很有趣的数学家。他在证明了奇数的哥德巴赫猜想以后画了两张漫画来表述他工作的过程。在一张漫画中，有一位绅士，头上写着哥德巴赫，有一个美女，上边写着哥德巴赫猜想，就是说哥德巴赫猜想是哥德巴赫的一个美女。还有一个人钻到美女的裙子里去了，裤子上写着哈代，有一个秃头在后面正在研究怎么解这个裙子，秃头上写着维诺格拉多夫，旁边写着“正在解哥德巴赫猜想”。意思是哈代对问题看得很深刻，都钻到裙子里去了，看到了问题的本质，但是没有找到解决的方法，是钻到裙子里而不是解开这个裙子。第二张画中哈代没有了，裙子没解下来，裙子在维诺格拉多夫手里，标题叫做“揭秘”。这两张漫画在三位当事人都去世以后，发表在俄罗斯科学院的院刊上。丘巴列科夫是维诺格拉多夫的最后一个学生，是莫斯科大学的数学力学学院的院长，他曾经把这两张画复制后赠给山东大学，这两张复制件现存山东大学图书馆。维诺格拉多夫的这两张漫画绝对是一手的数学传播。
前年，我们办了一个《数学文化》杂志，第一期到第五期已经赠送给山东省图书馆了，以后每一期都还会赠送。办这个杂志是因为我们有感于数学正在变成一门手艺，成为算账的工具。但是我们作为数学家，作为学数学的人，是想强调一下数学本身的思想意义和文化意义，我们也不太希望外行来强调，我们杂志的“潜规则”就是致力于一手的数学文化传播，但你既要传播数学文化，又得让人能看得懂，所以我们杂志有数学人物、史林、趣谈、经纬、教育、推荐等版块，印刷精美，会后赠送给提问的听众。
刊中，木遥（在华尔街工作的一个数学家）写了《华尔街最著名的数学家》。还有一篇《冯康传》，是著名数学家汤涛亲自采访、整理、撰写的，是数学家写数学家，都是原创。有一位作者，既是数学的博士，又是一位集邮爱好者，他积攒了很多有关数学的邮票，写了《新中国邮票中的数学研究》，很有意思。还有“菲尔兹奖”得主陶哲轩的文章，我们把它翻译成中文刊出。《翰林外史》是讲著名数学家的故事，这个栏目非常受欢迎，而且插图都是我们美编自己画的。
在第二期里有一篇讲冯·诺依曼的文章。冯·诺依曼是个著名的数学家，他在普林斯顿高等研究院工作了很多年，文章中缺少他在普林斯顿的照片。碰巧去年和前年我在普林斯顿高级研究院待了两个学期，非常荣幸地住在冯·诺依曼路，在那照了几张照片，其中两张照片被放在纪念冯·诺依曼的文章中，这就叫一手资料，而且还是一个数学家（本人）照的。当年，爱因斯坦在普林斯顿高等研究院待了很多年，但他一直是在高等研究院的数学研究所，因为高等研究所没有物理研究所。高等研究院有四个研究所，数学所、自然科学所（数学和自然科学是分开的）、历史所、社会科学所，所以数学不是自然科学，历史也不是社会科学。
第三，数学文化人，就是受数学熏陶、学数学出身的人，他们是什么样的人，会有什么特质？
世界上有着各种各样的数学家，数学家的人品与所从事的研究基本上没有什么关系，任何一个学者的人品跟他所从事的研究基本上都没有关系。人品是一件非常奇妙的事，不是说谁学问越好人品就越高尚；当然也不能说谁学问越好人品就越坏，也不能得出这个结论。这两件事情无关。但是数学虽然不决定人的人品，但会决定这个人的一些特质，下面我就讲讲一个数学家可能会具有什么特质。
首先，数学出身的人具有强大的思想力，因为数学在人的思想力的增加方面会有所帮助，也只有数学能够处理无穷。
现代天体力学告诉我们，宇宙的空间是有限的，宇宙的生命也是有限的，整个宇宙空间所存在的基本粒子数都能算出来，虽然个数算不准，但是不超过10的80次方，是有限的。有人可能问，宇宙的外边是什么呢？回答说没有外边。宇宙的年龄大概是137亿年左右，有人问150亿年以前是什么样的呢？回答是150亿年前什么也没有。所以10的100次方这个数叫googol（表示巨大的数字）。当年google公司的创始人选择了googol的同音异形体google作为公司的大名，意在表现该引擎能“搜集和驾驭浩瀚无穷的网络信息”，它基本上就是宇宙中能够用得着的最大的一个数。但是这个宇宙中用得着的最大的一个数，却显然不是最大的自然数，任何一个自然数加1，它都比原来的那个数大，10的200次方虽然你用不着，但是这个数肯定更大，所以数学是无穷的。
伽利略是率先研究抛物线运动的物理学家之一，他在比萨斜塔上研究平抛的铁球，他发现，平抛的初速度越大，铁球的着地点就离塔根越远。伽利略是历史上最伟大的物理学家，但他的这个研究是典型的物理学研究。牛顿既是物理学家，又是数学家，比伽利略具有更强大的数学文化，牛顿给出这样的结论，初速度越大，铅球的着陆点离塔根就越远，如果这个初速度特别巨大，铅球的着陆点就没有了，地球是圆的，铅球就围着地球转了，它就回不来了。这也是月球围着地球转的原理，也是地球围着太阳转的原理。所以，牛顿比伽利略具有更强大的洞察力，具有更强大的思想力。
培根说：“读史使人明智，读诗使人灵秀，数学使人周密，科学使人深刻，伦理学使人庄重，逻辑修辞之学使人善辩：凡有所学，皆成性格。”（《论读书》）信然。
其次，数学使人独立。数学本质上是数学人与内心的对话。你心里有一个绝对，数学就是你跟你心中那个绝对之间的对话。康德说数学家是“仰望星空的人”。一个社会不需要人人都“仰望星空”，但是如果一个这样的人都没有，那就是这个社会的灾难，所以数学家处在这个社会的边缘，是一帮比较边缘的人。
虽然是边缘人，但当数学家也有好处。哈代说：“如果不朽不是一个完全荒诞的词语的话，那么数学家最有可能不朽。”因为你的定理一经证明，万世不变，无需再检验，所以你与你的定理就不朽了。假如你对不朽感兴趣，你最应该当的是数学家。
我讲一个三位伟人之间的故事。第一位是拿破仑，第二位是拉格朗日，第三位是拉普拉斯。后两位都是大数学家、物理学家、天体力学家。因为在牛顿以后的那个年代，一个大数学家要是不研究物理、不研究天体的运行是一件丢人的事。拉格朗日有一本名著叫做《天体力学》，拉普拉斯有一本名著叫《宇宙体系论》。拿破仑对科学感兴趣，经常让科学家到卢浮宫跟他讨论科学问题，他就曾经问过他们两人一个同样的问题：在你关于宇宙体系的书中，你怎么竟然没提上帝？拉格朗日的回答是：引入上帝这个假设，我们会得出很多更有趣的结论，你要是把上帝引入到方程里，成为其中的一项，又消不去，那这方程的解就很有趣了，而且上帝还想怎么着就怎么着，这方程的解你让它什么样就什么样，那这本书就可以随便写了。拉格朗日说：上帝的假设对我没用，我不需要它。
拿破仑当政之后，有人就建议法国应该施行十二进制，像钟表一样。当然，十二进制有十二进制的好处，十进制的缺点是10不能被3整除，比如1块钱你要分成3份就分不了。假如1块钱等于12角钱的话，你就能分，一人4角。所以说十二进制的好处是它能被2和4整除。为什么有些很古老的民族实行六十进制呢？因为60能够被2、3、4、5、6整除，非常好。所以六十进制有它的优点，但是也有缺点，60以前所有的数都得有个单独的记号。
当时拿破仑曾经对十二进制特感兴趣，就把拉格朗日找来，问他觉得怎么样。拉格朗日是个很谦虚的人，他说实际上十一进制也挺好。拿破仑非常奇怪，说愿洗耳恭听，让他讲讲十一进制有什么优点。拉格朗日说：要是十一进制的话，你做分数演算就不用通分了，分母自然都是十一，因为十一是个素数。拿破仑一听，说：那我们还是搞十进制吧。
第三，数学使人“不器”。孔子说“君子不器”，意思就是说君子不是有固定作用的一个工具，君子也有自己独立的思考，数学就是这么一门不器之学。
最后我用几句不完全是数学家的言论，用他们对数学的看法，来结束我的演讲，我把它叫做“另眼看数学”。罗素不完全是个数学家，也是个文学家，还是个哲学家。他说：为了建立一个健康的哲学，你应该摒弃形而上学，而做一个数学家。凯尔文说：数学是唯一好的形而上学，其他的形而上学都是没有意义的。爱因斯坦说：数学充其量只是人类思想独立于客观世界的一种创造。你说数学完全是来自于现实世界，显然不是，但是它是人类思想独立于自然的一个创作，那么它为什么能又跟现实世界契合得那么好呢？这个哲学问题，到现在也没解决，但是爱因斯坦问得非常深刻。达尔文说：任何新发现在形式上一定得能用数学来描述，因为离开了数学，我们就没有其他的导引，数学是新发现的唯一的导引。
今天我讲了数学文化、数学文化的传播、数学人的特质。难免有不妥的地方，请诸位批评指正，我们可以继续探讨，感谢诸位！
演讲人简介
刘建亚 男，1964年生于河北固安，汉族，中共党员，教授、博士生导师，山东大学数学学院院长。1984年获河北师范大学学士学位，1992年、1995年分别获山东大学硕士、博士学位，1996年到1998年在香港大学从事博士后研究。2000年入选教育部“跨世纪优秀人才培养计划”；2001年获得“国家杰出青年基金”资助；2003年受聘“长江学者奖励计划”特聘教授；2005年获得首批“国家级教学名师”奖；2009年～2010年度任普林斯顿高等研究院成员。
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1.《数学文化》，薛有才著，机械工业出版社2010年出版。
本书分为14章，内容包括：古代西方数学与欧氏几何、中国古代数学与《九章算术》、数的历史、微积分的思想方法与意义、非欧几何与数学真理性、数学悖论与三次数学危机等。
2.《数学与哲学》，张景中著，大连理工大学出版社2008年出版。
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3.《数学奥林匹克与数学文化》，刘培杰著，哈尔滨工业大学出版社2008年出版。
本书内容包括：数学与哲学、科学随笔、科普名篇、中国古代数学史、数学游戏、课外活动、数学新闻等内容。
4.《数学与文化》，齐民友著，清华大学出版社2009年出版。
本书分3部分，共8章，内容包括：理性的觉醒、数学反思呼唤着暴风雨、“我从一无所有之中创造了一个新宇宙”等。阐述了数学文化的学科体系以及数学文化的哲学观、社会观、美学观、创新观、方法论等方面的主要内容。